Objectif Agrégation

Beck, Malick, Peyré

Utilisée dans les 20 développements suivants :

Algorithme de Berlekamp
Enveloppe convexe de On(R)
Théorème de Brauer
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
Théorème de Frobenius-Zolotarev
Théorème ergodique de Von Neumann
Extrema liés
Théorème de Fejer
Résultant : L'ensemble des nombres algébriques est une k-algèbre
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Critère de nilpotence de Cartan
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Point de Fermat d'un triangle
Équation de Burgers
Espace tangent et extrema liés
Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
Forme normale de Smith
Système de congruences (cas général)

Utilisée dans les 45 leçons suivantes :

123 (2024) Corps finis. Applications.
149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
151 (2024) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
219 (2024) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
243 (2024) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
213 (2024) Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
142 (2024) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
209 (2024) Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
214 (2024) Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
122 (2024) Anneaux principaux. Exemples et applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
144 (2024) Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
150 (2024) Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
152 (2024) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
156 (2024) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
159 (2024) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
245 (2024) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
234 (2024) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
250 (2024) Transformation de Fourier. Applications.
236 (2024) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
141 (2024) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
241 (2024) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
246 (2024) Séries de Fourier. Exemples et applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
206 (2024) Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
226 (2024) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
105 (2024) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.
230 (2024) Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.

Utilisée dans les 62 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

    Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
    Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 213, 234, 245 et 250.

    Le développement n'est pas difficile, mais risqué car il faut être prêt à répondre à la question "à quoi ça sert ?", et là les choses se compliquent.
    Pour information, le sujet d'analyse de 2010 utilisait les polynômes de Hermite pour la résolution d'une équation différentielle.

    Par ailleurs il est bon de se poser la question de l'optimalité, i.e. à partir de quelle puissance de $|x|$ dans l'exponentielle il n'y a plus densité (de mémoire en dessous de $1/2$ ça ne marche plus).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 235, 239, 245 et 265.

    Version qui n'utilise pas la relation $\Gamma(z+1)=z * \Gamma(z)$, mais qui explicite $\Gamma$ comme la somme d'une fonction méromorphe sur C et d'une fonction entière.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement qui se recase un peu partout qui utilise beaucoup de notions différentes consistant d'un théorème et d'un contrexemple.

    Résultats satellites:
    1. Inégalité de Hölder
    2. Développement en série entière des fonctions holomorphes
    3. Théorème de prolongement analytique
    4. Injectivité de la transformée de Fourier
    5. Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable

    Développement n°3 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 105,106,101,108

    Développement très sympa, permet de parler des matrices de permutations (une application est l'existence dans le théorème de Sylow)
    Il y a une partie de la démo dans le Beck qui touche pas d'herbe : il faut penser à utiliser l'unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Q[X].

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/fffe793f-5951-4166-a899-d2ee9b4d7bfc/Theoreme_de_Brauer.pdf?id=7cbf3bee-8e32-40cb-8c5b-55d9c729d629&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=2aVbSv0pkXJpNdWJyvF3lkqWNVCV4zIkHsX7jWgn-Mw&downloadName=Théorème+de+Brauer.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

    Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

    Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

    Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

    Attention aux coquilles.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    J'ai l'impression que dire que $P$ s'écrit comme le produit des $\mathrm{pgcd}(P,V-\alpha)$ est un peu superflu, exhiber un facteur non-trivial suffit pour enclencher la récurrence et donc ça peut vous faire gagner du temps. Sinon très bonne version dans Objectif Agrégation, comparé à la version du Demazure qui est imbitable (pour moi)
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 155 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
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