(2022 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces
vectoriels de dimension nie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car
ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de
savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est aussi de
dimension finie.
On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension nie intervient dans la démonstration de
certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des
résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions
et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses :
existence de polynômes annulateurs, dimension de l'espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions
d'équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d'isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d'un groupe
fini, théorie des corps finis, etc.
Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l'invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur R ou C). S'ils le désirent, les candidats
peuvent déterminer des degrés d'extensions dans la théorie des corps ou s'intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d'explorer des applications en analyse comme les extrémas liés.
Dans un autre registre, il est pertinent d'évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon,
par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l'unicité de la solution et
s'orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors
naturellement analyser l'approximation d'une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2019 : 151 - Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. $\\$ On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension finie intervient dans la démonstration de certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses : existence de polynômes annulateurs, dimension de l’espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions d’équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d’isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d’un groupe fini, théorie des corps finis, etc. $\\$ Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l’invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$). S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d’explorer des applications en analyse comme les extrémas liés. Dans un autre registre, il est pertinent d’évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l’unicité de la solution et s’orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement analyser l’approximation d’une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2017 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est important de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. Le pivot de Gauss
ainsi que les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses, on peut par exemple évoquer l’existence de polynômes annulateurs ou alors décomposer les isométries en produits de réflexions.
S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques. Dans un autre registre, il est pertinent d’évoquer la méthode des moindre carrés dans cette leçon, par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l’unicité de la solution et s’orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors naturellement explorer l’approximation d’une matrice par une suite de matrices de faible rang.
(2016 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est important de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est aussi de dimension finie. Les diverses notions et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses, on peut par exemple évoquer l’existence de polynômes annulateurs ou alors décomposer les isométries en produits de réflexions.
S’ils le désirent, les candidats peuvent déterminer des degrés d’extensions dans la théorie des corps ou s’intéresser aux nombres algébriques.
(2015 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est important de bien connaître les théorèmes fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier, ce qui rend la leçon plus difficile qu'on ne le croit.
Des questions élémentaires comme "un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ? " peuvent dérouter un candidat.
Les diverses caractérisations du rang trouvent bien leur place ainsi que, pour les candidats plus chevronnés, l'utilisation du degré d'une extension dans la théorie des corps.
(2014 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
C'est une leçon qui, contrairement aux apparences, est devenue difficile pour les candidats. Nombre d'entre eux n'ont pas été capables de donner des réponses satisfaisantes à des questions élémentaires comme : un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, est-il aussi de dimension finie ?
Il faut bien connaître les théorèmes fondateurs de la théorie des espaces vectoriels de dimension finie en ayant une idée de leurs preuves.
Les diverses caractérisations du rang doivent être connues.
