Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert

Ce résultat est la généralisation du résultat bien connu sur les endomorphismes symétriques (ou hermitiens) en dimension finie. On peut en trouver la démonstration page 469 du livre de Claude Wagschal ou page 69 du livre de Daniel Li.

Etude de l'espace L1 dont la transformée de Fourier est L1

Une partie de mes références est le Daniel Li, cours d'analyse fonctionnelle (que je conseille vivement car il fait à lui tout seul quelques leçons tout seul)

Projection sur un convexe fermé

Théorème de Lévy et TCL

Mon document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails, des conseils et je démontre des résultats utilisés dans la démonstration à la fin.
Dans cette version, je ne parachute pas la fonction qui permet de montrer qu'il suffit de tester la convergence sur les fonctions continues qui tendent vers 0 à l'infini, mais j'essaie de motiver sa construction pour que vous arriviez mieux à retenir le développement.
On démontre aussi le TCL en utilisant le logarithme complexe.
Je ne suis pas vraiment d'accord avec les recasages, pour moi il y en a plus. J'ai mis mes recasages au début du document.
Pour la référence, le titre du Queffelec/Zuily que j'ai utilisé est "agrégation de mathématiques, éléments d'analyse".

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Faire d'abord l'équivalence des normes puis le théorème de Riesz

Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques

Th II.4.9 page 54 et l'application qui suit page 56

Fermés de L2(R) invariants par translation

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

/!\ Il ne faut pas prendre en compte le sous-espace "C_tilde", j'avais commencé à le rédiger comme cela puis je me suis rendu compte que ça ne servait à rien...
Il y a sûrement des versions de ce développement mieux rédigées...

Propriétés des opérateurs compacts

Ce développement est assez difficile. Dans mon document, je détaille un certain nombre de propriétés sur le spectre des opérateurs compacts. Pour en faire un développement il faut en choisir quelque une et les démontrés. Cela demande de se tester sur 15min. Pour savoir quoi montrer en 15 min je conseille de regarder la version de Malartre.
Le lien vers mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Pour les leçons : 203, 206, 208
J'ai aussi utilisé comme livre : Agrégation interne : analyse, résumés de cours et exercices, de Skandalis, édition 2024

Exemples de parties denses et applications.

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel

Utilisation de la notion de compacité.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[GouAn] Analyse : Gourdon
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Espaces complets. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Calcul Différentiel : El Amrani (pas référencé par agregmaths)
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone

Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre

Transformation de Fourier. Applications.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

On peut aussi mettre Cauchy-Lipschitz global en développement.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

On peut remplacer Arnaudies par une version récente de Grifone.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

J'ai trop de réf, faudrait essayer de les réduire.

Transformation de Fourier. Applications.

Une leçon qui fait peur mais qui n'est pas si difficile que ça en fin de compte. On pourrait rajouter la formule sommatoire de Poisson en développement

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de compacité.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Une leçon où on peut mettre beaucoup de choses. Il faut en profiter pour mettre seulement ce sur quoi on se sent à l'aise.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Il semblerait que les deux développements proposés soient redondants, mieux vaut éviter de les présenter ensemble.

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

El Amrani Calcul différentiel

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Espaces complets. Exemples et applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Cette leçon a été faite au début de l'année. Je n'ai pas grand chose à dire dessus si ce n'est que comme d'habitude la théorie de Baire n'est pas obligatoire mais elle me semble être un bon investissement à faire pendant l'année. Si on en parle, il faut travailler les démos et voir quelques exemples d'utilisation, faire quelques exercices...
Parler des Hilbert me semble indispensable (sinon la leçon est un peu pauvre...)
Pour les savoir-faire : savoir justifier qu'une application linéaire est continue et surtout justifier qu'elle ne l'est pas au moyen d'une suite (le plus souvent), savoir trouver des normes d'opérateurs...

Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus en oral blanc en décembre en faisant exactement ce plan là.
La partie IV n'est vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé mais si on en parle, il faut bien le travailler et je ne suis pas sûr que je l'aurais mise le jour J si j'étais tombé dessus.
Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un Hilbert en montrant que son orthogonal est nul, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, savoir calculer une distance (ou une borne inf d'une quantité en reconnaissant une distance) à l'aide du projeté...
Si on parle des polynômes orthogonaux, une question méga-classique qui est systématiquement posée, c'est d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ !
Dans le DEV1, je faisais THM15 et PROP16, si on n'a pas le temps de faire PROP16, il faut quand même savoir la démontrer.

Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

J'ai voulu mettre beaucoup de choses dans cette leçon, selon les préférences on pourra retirer les probas ou la théorie de Baire mais je pense qu'il faut en mettre l'un des deux au vu du nom de la leçon qui incite à mettre d'autres choses que les théorèmes "classiques" d'interversion.
Comme j'ai dit dans d'autres commentaires, si on met la théorie de Baire, il faut l'avoir travaillée c'est-à-dire avoir une idée des démonstrations, et avoir fait quelques exercices.
Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, le TCD, le TCM, Fatou, Fubini, les théorèmes sur les intégrales à paramètres réels (qui découlent du TCD d'ailleurs), le théorème d'holomorphie sous l'intégrale (plus puissant),... Il faut bien accompagner tous ces théorèmes d'exemples d'application qui se trouvent assez bien dans les bouquins. Pensez aussi à la fonction Gamma, à la transformée de Fourier...