Analyse. Théorie de l'intégration

Briane, Pagès

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Escalier de Cantor
Théorème de Radon Nikodym

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

Utilisée dans les 5 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 101 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
    Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
    J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
    Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

    En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

    /!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
    Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

    Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.
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