Oraux X-ENS Algèbre 3

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 20 développements suivants :

Décomposition polaire
Théorème de Pfister
Générateurs de O(E)
Ellipsoïde de John Loewner
Le groupe SO3(R) est simple
Générateurs du groupe Isom(E)
Point de Fermat-Torricelli
Points extrémaux de la boule unité de L(E)
Hahn Banach (version analytique) en dimension finie
Composantes connexes des formes quadratiques réelles
Théorème de Krein-Milman
Inégalité sur le déterminant avec Sn(R)
Convexité logarithmique
Transformée de Laplace et intégrale de Dirichlet
Générateurs de O(E) et SO(E)
Somme du déterminant de matrices symétriques positives (inégalité de Minkowski)
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien
Théorème de Pappus
Simplicité de SO_3(R)

Utilisée dans les 20 leçons suivantes :

157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
108 (2025) Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
103 (2025) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Utilisée dans les 35 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Le document est très long, il faut un peu adapter en fonction de la leçon (penser à faire le lemme pour la leçon sur les fonctions convexes mais il n'est pas nécessaire dans celle sur le déterminant par exemple). On utilise pas mal de résultats assez forts sur les formes quadratiques et les matrices symétriques mine de rien donc il faut y avoir réfléchi avant je pense.

    Je le prends pour les leçons 149, 157, 170, 171,181, 219, 229 et 253.

    La preuve se trouve page 229 pour le théorème et 222 pour le lemme.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
    -Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
    -Calcul effectif par la méthode de Newton
    -L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
    -Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
    Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
    Le lien:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 39 versions de leçons suivantes :