Méthode de Newton-Raphson

C'est la méthode de Newton multiD.

Méthode de Gauss et polynômes orthogonaux

Théorème de Weierstrass (par les probabilités)

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Méthode de Newton

Méthode de la sécante

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Classification des points fixes dans R

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Développement très classique, relativement court (en fonction de ce qu'on décide de démontrer ou non) et assez difficile. Je pense qu'il faut absolument connaitre cette démonstration, en particulier si vous présentez l'option B (on m'a posé plusieurs questions sur ce théorème le jour de mon oral d'option).

NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.

Méthode de Newton

On peut prendre 1-2 minutes au début pour expliquer l'origine de cette méthode (voir l'heuristique du Rouvière à ce sujet).

Lemme de Gronwall et une application

Polynômes de meilleure approximation uniforme

Assez technique. Je préfère la version de Demailly. Je le prends seulement pour la 206 mais la 209 est très bien.

Polynômes de meilleure approximation uniforme

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

Programmation dynamique : exemples et applications.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Applications des formules de Taylor.

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Espaces complets. Exemples et applications.

Mis à jour le 11.05.17

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Mis à jour le 12.05.17

Approximation d'une fonction par des polynômes et et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Espaces de fonctions. Exemples et applications

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Exponentielle de matrices. Applications.

Leçon courte mais il y a un peu de travail : la surjectivité de exp n'est pas un résultat trivial !

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.

Exponentielle de matrices. Applications.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

Equations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Plan éprouvé par une présentation durant l'année.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Leçon faite au tout début de l'année. J'aurais rajouté la méthode QR prise dans Ciarlet.

Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Evitez de mettre les sinus itérés en dev, c'est pas trop aimé par le jury.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

On doit pouvoir parler des méthodes d'Euler en application lorsque l'on parle des méthodes de quadratures.

Exponentielle de matrices. Applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Si j'étais tombée dessus à l'oral, je n'aurais pas choisi le développement sur Dunford. Le Berhuy fait tout le début, le Demailly sert pour la partie "équations différentielles".

Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai utilisé le Demailly et le Benzoni-Gavage.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...

Formules de Taylor. Exemples et applications.

Cette leçon n'est franchement pas cool... Au premier abord, je trouve qu'on a du mal à voir ce qu'on va bien pouvoir mettre dedans et puis en fouillant le Rombaldi Analyse réelle et le Gourdon, on trouve tant bien que mal des choses... N'étant pas très bon en calcul, je n'aurais pas aimé tomber dessus le jour J...
Le plus dur est de trouver des développements... La façon dont j'ai tourné la démo du TCL (et surtout les lemmes préliminaires) permet de bien justifier le DEV1 pour cette leçon, mais le DEV2 est vraiment bof... On utilise juste à 2 reprises Taylor-Lagrange à l'ordre 2...
Il faut penser à parler des développements en série entière, ça permet de remplir la leçon... Et d'amener le jury vers des questions pas trop déconcertantes je pense...

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon est plutôt cool à faire, elle permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation... J'ai oublié de mettre en application du théorème des extrema liés la différentielle du det et le théorème donnant les matrices minimisant la norme sur $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ (que je fais en DEV dans d'autres leçons). Une autre jolie application du théorème des extrema liés est la suivante :
Soit $(E,(.|.))$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme auto-adjoint de $E$. Alors, la quantité : $\lambda=\text{sup}_{\|x\|=1} (u(x)|x) $ est valeur propre de $u$.
J'ai mis la méthode de Newton car le rapport du jury en parlait, mais je ne suis pas sûr qu'il s'agissait de cette méthode de Newton là... Ceci dit, elle se justifie quand même dans cette leçon.
On peut je pense approfondir la partie sur la méthode du gradient. On trouve de jolis dessins explicatifs dans le Beck.

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Si cette leçon était tombée dans mon tirage, je ne l'aurais très certainement pas prise, je ne l'aime pas beaucoup... En même temps c'est la partie difficile des équa diff... Pour que le DEV1 fasse 15 minutes, je rajoute Cauchy-Lipschitz linéaire en corollaire. Je conseille vraiment de (re)faire des exercices d'application du théorème des bouts (sortie de tout compact, explosion en temps fini) pour justifier qu'une solution maximale n'est pas globale par exemple...
Il faut aussi travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient etc...
Je n'ai pas trouvé de livre qui fait vraiment bien le pendule et Lotka-Volterra... Et de manière générale, j'espère pour les prochains agrégatifs désireux de préparer cette leçon qu'iels auront eu un bon cours d'équa diff (ce qui a été mon cas) car les livres ne sont franchement pas dingues sur le sujet... Il y a Berthelin qui fait assez bien le taf mais il faut quand même avoir eu un bon cours sur le sujet. Bref, bonne chance pour cette leçon !!

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue !
Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter "certaines EDP linéaires".
Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1.
Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin.
Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)

Connexité. Exemples d'applications.

Dans cette leçon il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux peut être dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut également parler de simple connexité ou regarder uniquement les différentes notions de connexité mais au niveau local. Il faut bien connaître les différentes implications entre les différents types de connexité et avoir en tête des contre-exemples et donner pas mal d'applications comme le suggère le titre (calcul différentiel, équations différentielles, analyse complexe, etc.).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Espaces complets. Exemples et applications.

Il faut bien connaître des exemples d'espaces complets mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. Le théorème de Baire et ses conséquences est un bon investissement à faire pendant l'année.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples...
Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable...
Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires...
Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça...
On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence.
Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Il faut montrer dans cette leçon l'importance de la dimension finie dans plusieurs contexte en montrant explicitement ses apports.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

Il faut essayer de motivier l'approximation d'une fonction par des fonctions régulières et donner le plus d'exemples possibles (approximation par des polynômes, dans les L^p ou encore de fonctions périodiques).

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation, etc. Elle est également l'occasion de parler de la méthode du gradient si on le désire.

N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

Voici un plan possible pour la leçon 209.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Formules de Taylor. Exemples et applications.

Voici un plan possible pour la leçon 218.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Cette leçon a été faite au début de l'année. On peut mettre moins d'analyse numérique et mettre par exemple Cauchy-Lipschitz dont la démonstration s'appuie sur la convergence d'une suite récurrente dans l'espace de Banach.
On peut aussi mettre d'autres schémas numériques pour les EDO qu'Euler explicite, parler de leur erreur etc... Mais je ne maîtrisais pas trop ces sujets et manquais de place donc je me suis contenté de ça. Je conseille de lire le développement du Bernis sur ce sujet si on ne le fait pas, il est très éclairant sur la procédure à suivre pour étudier certaines suites récurrentes. C'est d'ailleurs cette méthode que j'utilise pour le DEV 1 (que je n'ai trouvé dans aucun livre...)

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

/!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

J'ai préparé cette leçon comme un vrai oral et j'ai été interrogé par deux de mes camarades. Je voulais mettre les exercices de Carnet de voyage en Algébrie, mais j'ai un peu oublié... il y a tellement de choses à mettre dans cette leçon aussi... bref j'espère que ça vous sera utile !

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Plan préparé en binôme pendant l'année de préparation à l'agreg. L'ordre est peut-être à améliorer, et les titres de partie aussi, mais je trouve ce plan plutôt complet ! J'espère que cela vous sera utile.

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

J'aime bien.