Elements d'analyse fonctionnelle

Hirsch

Utilisée dans les 6 développements suivants :

Théorème de Lax-Milgram et une application
Projection sur un convexe fermé
Théorème de Stone-Weierstrass
Étude d'une norme dans un Hilbert
Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
213 (2024) Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
203 (2024) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2024) Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
219 (2024) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
228 (2024) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
234 (2024) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
206 (2024) Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
161 (2024) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Utilisée dans les 18 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 213, 219, 253

    Page 91

    J'y ai mis les preuves de la projection, la caractérisation par l'angle obtus, la caractérisation dans le cas d'un sev, la décomposition en somme orthogonale et Riesz (c'est trop long pour faire un dév, il faut sélectionner les preuves qu'on veut présenter).

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement qui utilise toute l'artillerie des espaces de Hilbert, qui utilise un nombre incalculable de fois l'égalité de Bessel et qui fera des merveilles dans les leçons 205, 208 et 213 ! Il y a de la matière dans ce développement, alors démontrez ce que vous maîtrisez le mieux ! Comme dit au début de ce développement, n'oubliez pas de donner des exemples d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et d'opérateurs qui sont continus, mais pas de Hilbert-Schmidt, voire des exemples d'opérateurs compacts qui ne sont pas de Hilbert-Schmidt ! Un exemple est le suivant : si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in c_0(\mathbb{N}) \setminus \ell^2(\mathbb{N})$, alors l'opérateur :
    \[
    T : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \longmapsto (a_nu_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N})
    \]
    est compact, mais pas de Hilbert-Schmidt !
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 61 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
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