Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Brezis, Haim

Utilisée dans les 8 développements suivants :

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
Théorème de Lax-Milgram et une application
Projection sur un convexe fermé
Hahn-Banach géométrique
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Théorème de Stampacchia
Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov

Utilisée dans les 8 leçons suivantes :

201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Utilisée dans les 15 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 14 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
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