(2022 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.)
L'intitulé de la leçon permet de se placer dans des contextes variés : R, $R^n$, voire certains espaces de Banach fonctionnels.
En ce qui concerne le cadre réel, on pourra présenter des exemples d'études asymptotiques (si possible autres que $u_{n+1} = \sin(u_n)$), étudier l'itération d'une fonction suffisamment régulière au voisinage d'un point fixe, ou encore présenter des exemples de méthodes de résolution approchée d'équations. En ce qui concerne l'étude asymptotique des suites récurrentes, le jury souligne le fait que la mise en oeuvre d'une analogie discret-continu permet souvent de faire surgir naturellement la suite auxiliaire adaptée, plutôt que de la parachuter.
En se plaçant dans $R^n$, on peut aborder par exemple l'étude des suites vérifiant une relation de récurrence d'ordre ⩾ 2, la convergence en loi de chaînes de Markov à espace d'états fini, ou encore l'extension à ce cadre de la méthode de Newton ou plus généralement les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires.
Dans le cadre banachique enfin, les applications de la méthodes des approximations successives ne manquent pas, qu'il s'agisse de la construction de solutions d'équations différentielles, intégrales, ou fonctionnelles
(2019 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio)
Le concept de point fixe d’une fonction est évidemment au coeur de cette leçon et l’énoncé d’au moins un théorème de point fixe, qu’il faut savoir mettre en œuvre sur des exemples simples,est évidemment pertinent. Le jury est parfois surpris que des candidats évoquent un théorème de point fixe dans les espaces de Banach... sans être capables de définir ce qu’est un espace de Banach ou d’en donner un exemple ! Au niveau élémentaire, les questions de monotonie, les notions de points attractifs ou répulsifs peuvent structurer l’exposition et l’aspect graphique n’est pas à négliger. Le jury attend quelques exemples illustrant la variété des situations et la suite récurrente $u_{n+1}=\sin(u_n)$ n’est que l’un d’entre eux : il doit certes être maîtrisé mais ne peut être le seul exemple. L’aspect vectoriel,pourtant présent dans l’intitulé, est trop souvent négligé. Le comportement des suites vectorielles définies par une relation linéaire $X_{n+1}=AX_n$ fournit pourtant un matériel d’étude conséquent. $\\$ L’étude des suites numériques linéaires récurrentes d’ordre p est souvent mal connue, notamment le lien avec l’aspect vectoriel. La formulation de l’intitulé de cette leçon invite résolument à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse) d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode deNewton(avec sa généralisation au moins dans $\textbf{R}^2$), algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler,...
(2017 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.)
Citer au moins un théorème de point fixe dans cette leçon est pertinent. Le jury attend d’autres exemples que la sempiternelle suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ (dont il est souhaitable de savoir expliquer les techniques sous-jacentes). La notion de points attractifs ou répulsifs peut illustrer cette leçon. L’étude des suites linéaires récurrentes d’ordre p est souvent mal connu, notamment le lien avec l’aspect vectoriel, d’ailleurs ce dernier point est trop souvent négligé. Le comportement des suites vectorielles définies par une relation linéaire $X_{n+1} = AX_n$ fournit pourtant un matériel d’étude conséquent.
La formulation de cette leçon invite résolument à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse) d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton (avec sa généralisation au moins dans $R^2$), algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler,...
(2016 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications. )
Citer au moins un théorème de point fixe dans cette leçon est pertinent. Le jury attend d’autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$ (dont il est souhaitable de savoir expliquer les techniques sous-jacentes).
La nouvelle formulation de cette leçon, qui sera en vigueur en 2017, invite à évoquer les problématiques de convergence d’algorithmes (notamment savoir estimer la vitesse), d’approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d’Euler, ...
L’aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu’ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l’algorithme de Newton au moins dans $R^2$, voire $R^n$.
(2015 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.)
Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués.
Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes, d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, schéma d'Euler, ...
L'aspect vectoriel est souvent négligé. Par exemple, le jury attend des candidats qu'ils répondent de façon pertinente à la question de la généralisation de l'algorithme de Newton dans $\mathbb{R}^2$.
(2014 : 226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples et applications.)
Exemples et applcations. un`1 “ f pun q. Le jury attend d'autres exemples que la traditionnelle suite récurrente $u_{n+1} = \sin(u_n)$. Les suites homographiques réelles ou complexes fournissent des exemples intéressants, rarement évoqués.
Cette leçon doit être l'occasion d'évoquer les problématiques de convergence d'algorithmes d'approximation de solutions de problèmes linéaires et non linéaires : dichotomie, méthode de Newton, algorithme du gradient, méthode de la puissance, méthodes itératives de résolution de système linéaire, schéma d'Euler ...
