Simplicité de SOn(R)

Théorèmes de Kakutani et Massera

Théorème du point fixe de Brouwer

Théorème de Jordan C1

Décomposition Polaire C infini difféomorphisme

Le caractère $C^\infty$ de la décomposition est fait dans Calcul Différentiel, mais de manière très elliptique. Le reste est plus développé dans (par exemple) le H2G2.

Théorème du point fixe de Brouwer

D'après moi pour les leçons : 203, 204, 214 et 215.

Je n'ai jamais pu mettre la main sur le livre de M. Gonnord et Tosel, donc ma version provient de celle de Mathieu Dutour que je remercie grandement.

Le développement est excessivement long, voir mes remarques à la fin du document pour le faire tenir en 15 minutes.

NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.

Théorème de Jordan C1

Recasage: 204, 267, pas 245

Gonnord/Tosel p95
Attention, le livre donne plus des indications qu'une preuve détaillée. Il y a beaucoup de trous à combler !
Commentaires en fin de document. La partie sur l'indice est à savoir faire, mais il ne faut pas la présenter.

Mon site: https://esuong-maths.fr

Théorème du point fixe de Brouwer

Théorème de Sard

Recasages : 214, 215

C'est un développement qui est assez difficile à présenter car les sources sont elliptiques sur la preuve. C'est pourquoi j'ai essayé de détailler au maximum les arguments (on peut faire un très beau dessin aussi).

Comme je précise dans les compléments ce théorème est un pilier de la topologie différentielle, il a donc tout à fait sa place dans les plans de leçon sur le calcul différentiel (vérifié par un professeur). Cependant, je ne sais pas si je garderai ce développement pour le jour J car il est fortement hors-programme.

Si vous avez des questions sur le développement vous pouvez m'envoyer un email, je répondrai avec plaisir.

Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Un développement qui se recase très bien dans les leçons d'équa diff sans pour autant reposer sur beaucoup d'outils très typés "équa diff", mais qui en contrepartie use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie. A vos risques et périls donc !
La version que j'ai rédigée est beaucoup trop longue pour être traitée. Comme les raisonnements de calcul diff sont toujours lourds en notations, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible et clarifier au mieux la nature des différents objets, surtout que la référence est assez elliptique sur le sujet. Après avoir fait un essai à l'oral, je recommande de laisser de côté l'application à Liapounov (mais de la garder pour le plan !), de passer rapidement sur le calcul de la différentielle de $f_*$ et de se contenter de donner l'expression de la formule de $h$ dans la partie "surjectivité de $d_2 F(x^*, t \mapsto x^*)$", sans ensuite vérifier que cette expression réalise bien l'inversion que l'on veut (ce qui je pense se justifie par le fait que c'est très calculatoire et peu intéressant dans les leçons dans lesquelles c'est recasé).
J'ai ajouté un paquet de remarques à la fin du document, je ne m'étends donc pas plus ici.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Connexité. Exemples et applications.

Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.

Plan de leçon éprouvé par une présentation durant l'année. Le plan est très dense ; on peut tout à fait ne pas faire la troisième partie si on n'est pas à l'aise avec les sous-variétés. On se rangera à l'avis du jury, qui considère qu'il est inutile de présenter les résultats en dimension infinie si les seuls exemples que l'on en sort ne relèvent que de la dimension finie (cf. Rouvière, Chp 5).