Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Jean Etienne Rombaldi

Utilisée dans les 69 développements suivants :

Décomposition de Dunford (version non algorithmique)
Surjectivité de l'exponentielle matricielle
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Simplicité du groupe alterné An
Décomposition polaire
Endomorphismes semi-simples
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Calcul de exp(Mn(C)) et exp(Mn(R))
Réduction de Jordan (par la dualité)
Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
Réduction des endomorphismes normaux
Polynômes irréductibles sur Fq
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints
Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
Classification des groupes d'ordre p^2
Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables
Théorème de Liouville : Fermat pour les polynômes
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
Lemme chinois et lemme des noyaux
Générateurs de SL(E) et GL(E)
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Dunford et l'exponentielle de matrice
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
Cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini
Théorème de Maschke et lemme de Schur
Critère de Sylvester et applications
Dualité et Algèbre des matrices
Diagonalisabilité de l'exponentielle de matrice
Condition nécessaire et suffisante pour que Z/nZ* soit cyclique
Cyclicité du groupe (Z/pZ)^*
Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité
Factorisation de Cholesky et Factorisation QR
Trigonalisation simultanée
Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$
Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
Racines de l'unité dans Z/nZ
(Z/p^aZ)* est cyclique
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence
Théorème spectral et ses trois corollaires
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
Théorème chinois et applications
Isométries du cube
Corps des nombres algébriques
Étude relative à la fonction Zeta
Réduction des formes quadratiques et théorème de Sylvester
Etude de la fonction Zeta de Riemann
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien
Fonction zeta et nombres premiers
Dérangements d'un ensemble fini
Sous groupes finis de K*
Equivalence de diagonalisabilité
Décomposition de Dunford
Exemple de la trace
Décomposition LU et de Cholesky
Générateurs de SL_n(K) et GL_n(K)
Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]
Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R
Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
Surjectivité de l’exponentielle matricielle
Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside
Théorème des restes chinois et application
Critère de Sylvester
Sous-groupes distingués de Sn

Utilisée dans les 50 leçons suivantes :

171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
110 (2019) Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
233 (2021) Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
103 (2025) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
162 (2025) Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
142 (2025) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
120 (2025) Anneaux Z/nZ. Applications.
108 (2025) Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
107 (2021) Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
104 (2025) Groupes finis. Exemples et applications.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
122 (2025) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
127 (2025) Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Utilisée dans les 141 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages: 121, 126

    Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la factorialité des anneaux en jeu, pas leur principalité. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la principalité d'un anneau, mais c'est déjà mieux.

    Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible.

    Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269)

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Il faut faire attention avec la démonstration du premier lemme de ce développement dans le Rombaldi, il mélange un peu les intervalles de définition des fonctions ! Le plus simple est de rester sur $]-\frac{1}{\rho(A)};\frac{1}{\rho(A)}[$ tout le long de la preuve, en précisant que "$\frac{1}{0}=\infty$".
    Il faut aussi bien savoir justifier que les séries matricielles convergent, qu'on peut dériver terme à terme. C'est ce que j'ai fait sur le côté gauche de la première page mais ça a été coupé par le scan... Je recommande de toute manière de bien travailler la partie du Rombaldi sur le rayon spectral et les séries matricielles.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
    Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
    Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
    Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement très classique, mais j'ai décidé de la faire de façon un peu moins conventionnelle. Je l'ai séparé en trois parties: preuve que l'ensemble des nombres algébriques sur un corps est un corps, puis montrer que ce corps est algébriquement clos si le corps de départ l'est, et enfin construction d'un polynôme annulateur pour la somme de deux nombres algébriques. Cette troisième partie nécessite la notion de résultant, très intéressante, très riche, mais hors programme. Si vous ne voulez pas vous y frotter, ne prenez pas cette version du développement.
    L'idée est de montrer que la preuve par les extensions de corps est très efficace, mais non constructive, et de présenter un outil pour faire une preuve constructive. En effet, une fois que l'on a la stabilité par la somme, la stabilité par produit se fait de façon semblable. La stabilité par l'inverse se fait rapidement, sans avoir besoin de théories exotiques. Le Rombaldi explique bien la partie sur le résultant, dans son chapitre "Résultant". Attention cependant: il le fait dans le cas des entiers algébriques, qui nécessitent d'avoir un polynôme annulateur unitaire. Ici, ce n'est pas le cas, donc la preuve est encore plus simple! Il faut quand même s'y pencher un peu pour voir ce qui peut être enlevé.

    Côté recasages à mon avis:
    Extensions de corps
    Exemples de nombres et d'anneaux de nombres remarquables
    Racines d'un polynôme
    Déterminant (dans cette leçon, il faudra donc prévoir une partie sur le résultant. Dans le développement, je ne montrais pas la partie sur les corps algébriquement clos, mais faisais aussi l'explication pour trouver un polynôme annulateur du produit de deux nombres algébriques)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement sympathique, pas spécialement difficile, mais assez attention au temps. Les récurrences rendent le développement assez long. Le lemme de départ peut être une bonne source d'économie de temps, mais sans le montrer, le développement est un peu court... Il faut voir comment vous vous y prenez pour faire votre choix. Maîtriser la loi d'inertie de Sylvester est bien évidemment un impératif pour présenter ce développement.

    Côté recasage à mon avis:
    Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
    Déterminant (certains considèrent ce recasage abusif. Je ne comprends pas: le critère de Sylvester porte précisément sur les mineurs de la matrice qui sont des déterminants. En plus dans l'application, on est amené à développer un déterminant...)
    Formes quadratiques réelles
    Matrices symétriques

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement vraiment pas difficile, mais qui est respectable dans la leçon sur l'exponentielle de matrices. Il peut être un peu court en l'état pour certains, mais il est facile de rajouter des petites choses en cas de besoin. Le Rombaldi fait le développement de façon tout à fait respectable ! J'ai rédigé le développement en version endomorphismes, mais je suppose qu'il n'y a pas de problème à le rédiger version matrices.

    Côté recasages à mon avis:
    Exponentielles de matrices
    Endomorphismes diagonalisables

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement que je trouve dangereux. Il se recase bien et constitue une jolie application de la dualité, mais il est long et utilise des propriétés qu'il faut bien maîtriser. Je ne présente que le cas des endomorphismes nilpotents, mais bien sûr, il faut savoir prolonger l'étude aux endomorphismes dont le polynômes caractéristique est scindé. Il faut aussi savoir faire une réduction de Jordan sur des exemples ; remarque qui paraît évidente, mais qui l'est beaucoup quand on sait que le développement ne constitue pas une méthode constructive ! Attention aussi aux arguments du style "on continue de la même façon, et ça va marcher" que l'on utilise dans les deux premiers lemmes ; ce sont des récurrences cachées, certes faciles, mais j'ai toujours l'impression de perdre en précision à l'oral. Pourtant, la longueur du développement ne permet pas de faire plus précis...
    Pour les recasages à mon avis :

    Endomorphismes nilpotents
    Formes linéaires et dualité
    Dimension d'un espace vectoriel
    Exemple de décomposition de matrices
    Sous-espaces stables par un/des endomorphisme(s)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 366 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
    Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
    Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
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  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
    Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
    Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
    On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).

    J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
    Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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  • Remarque :
    J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
    J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
    Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
    Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon... En plus c'est hors programme...)
    Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
    Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois les auteurs de ce site).
    Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

    Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie. Malheureusement, je n'ai pas d'analogue sur les coniques...
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  • Remarque :
    Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans R uniquement. Ainsi, il faut savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base q-orthogonale, etc. afin de les classifier.
    Quant aux coniques, elles ne sont plus du tout enseignés donc il faut tout apprendre dessus et il y a malheureusement très peu de références où les choses sont vraiemnt bien faites pour bien découvrir les choses... Il y a le Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3). Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer donc il faut essayer de prendre du recul pour bien comprendre les objets (pas si évident...) et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective qu'il faut éviter si l'on ne connaît pas (bien trop gros investissement pour ce que ça rapporte...) ! Il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (ce qui est déjà pas mal du tout je pense).Il faut également bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale, etc. Le jury était constitué soit de professeurs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de professeurs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les choses très poussées !

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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