Leçon 154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Décomposition polaire

• Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

• Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
• Algèbre linéaire numérique : Allaire
• Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
• Algèbre : Gourdon

Comme tous mes autres oraux, je commençai par « Bonjour à tous, je suis très content d’être là ! » avec un grand sourire. Le jury était composé de trois personnes, ils commencèrent par me rappeler les modalités de l’épreuve, notamment à quel moment on avait accès à nos brouillons (tout le temps sauf pour le développement). Nous avions le droit de relire rapidement nos feuilles avant de faire le développement et après que le jury ai fait son choix.
J’étais très fier de ma défense de plan, c’était un tableau avec double entrée, d’une part, décompositions additives contre décompositions multiplicatives, d’autre part, théorie contre applications à l’analyse numériques. Il y avait même une accroche avec la phrase « Diviser pour mieux régner » suivie d’une introduction historique. J’avais simplement oublié de parler de ma première partie, mais on ne me posa aucune question dessus.
Le développement choisi fut « décomposition polaire », je lis mon développement avant de le présenter au tableau, ce qui ne me servit à rien, car je lisais en diagonale. Je me reposais sur le Caldero-Germoni et il est préférable de l’avoir sous les yeux pour lire les lignes qui suivent.
Je ne rencontrai aucun problème pour montrer la compacité de On(R), la continuité de l’application et sa surjectivité. Arrivé au moment de montrer son injectivité, je me trompai avec les polynômes interpolateur, j’avais écrit que je voulais envoyer sqrt(li) sur li. (J’aurais dû me rendre compte tout de suite que ça ne pouvait pas être cela. Aurait-on eu besoin de polynômes interpolateur s’il suffisait de prendre X² ?) Forcément, la suite ne fonctionnait pas donc je passai à la continuité de la réciproque sur laquelle il manquait des éléments à cause de ma précipitation. (Il ne faut pas se laisser intimider par une erreur). Je revins ensuite à l’injectivité, mais on m’apprit que le temps était bientôt écoulé, je donnais alors les étapes de la preuve à l’oral si j’avais réussi à monter ce que je voulais montrer.
Au fond de moi, je fus démoralisé, ça me paraissait grave de ne pas finir son développement.

Les premières questions étaient consacrées à corriger cette histoire de polynômes, après plusieurs indications, j’arrivais enfin à trouver ce que je voulais, mais ce n’était pas glorieux. On passa ensuite sur la dernière étape de ma preuve sur laquelle je rappelle qu’il manquait des éléments (j’avais notamment pris une suite de GLn(R) sans dire qu’elle convergeait). Après m’être calmé, je remettais tous les éléments dans le bon ordre et l’on put passer à la suite.
« Donnez la décomposition LU d’une matrice 2*2 » Pas de problèmes, je l’échelonnai et je conservai les opérations élémentaires dans une matrice. « Quelle est la matrice de transvection que vous utilisez ?» Je donnai la transposée de la bonne réponse, mais ils me le pardonnèrent.
« On se donne une application de GLn(R) dans C invariant par multiplication à gauche ou à droite par On(R) et nulle sur les matrices diagonales, qu’en dites-vous ? » Comme on venait de faire de la décomposition polaire, je répondis qu’il fallait d’abord faire cette décomposition à une matrice inversible, on se ramenait au cas d’une matrice symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable, donc on se ramenait au cas d’une matrice diagonale. Finalement, l’application était nulle.
« Y a-t-il une décomposition polaire dans Mn(C) et si oui qu’est ce qui change ? » « Je crois qu’il y a un problème d’unicité. » Je me rapprochai du tableau et un des membres du jury m’arrêta « C’est intéressant de voir ce qui ne marche pas dans la preuve, mais nous n’allons pas faire comme cela, utilisez plutôt la densité de Gln dans Mn. » Ça avait été.
Nous revenions sur la décomposition LU. « Pourquoi les hypothèses sont vérifiées pour une matrice symétrique définie positive » Je commençai à expliquer la preuve, mais on me fit comprendre que ce n’était pas la question, je réussis après à trouver la réponse attendue.
Ensuite, ils me posèrent des questions sur la réduction de Jordan. Tout d’abord, « Quelle est la forme de la réduite de Jordan d’une matrice nilpotente ? », j’avais su répondre. Puis, « Quelle est la réduite de Jordan de la matrice de taille 2n*2n à quatre blocs dont le seul bloc non nul est le supérieur droit qui est une matrice de GLn. » Je mis du temps et quelques indications furent nécessaires, mais j’eus la bonne réponse finalement.
Enfin, la dernière question portait sur la continuité de la décomposition de Dunford. J’étais contant, car je l’avais mis dans mon plan afin qu’ils me posassent la question. De plus, je ne m’étais pas trompé sur le coefficient à perturber pour montrer que ce n’était pas continue.

Le jury aidait lorsque c'était nécessaire, ils n'étaient jamais désagréables.

Je fus convoqué à 8h45 pour l’épreuve d’algèbre et de géométrie. Depuis mon réveil, je stressais beaucoup à cause des tirages possibles.
La présidente du jury nous présenta les modalités de l’épreuve et nous tirâmes des sujets, contrairement au CAPES, ils étaient empilés ce qui incitait fortement à prendre le premier qui nous venait. Ainsi, le sentiment de culpabilité en cas de mauvais tirage aurait été moins fort.

Dieu soit loué ! Mon tirage était bon. J’avais le choix entre 154 (exemples de décompositions de matrices) et 161 (espaces vectoriels et affines euclidiens). J’aimais bien les deux, mais j’avais tellement de développements dans la 154 que je la choisis. La chance semblait me sourire, comme quoi, ça avait été utile de faire brûler un cierge dans la cathédrale la veille, j’aurais dû le faire dès mon arrivée.
Les deux développements que je sélectionnai furent « décomposition de Dunford » et « décomposition polaire », ceux que je maîtrisais le mieux. Les autres seraient des items de mon plan sur lesquels je pourrais répondre aux questions. Je commençai la préparation par rédiger mes développements. Une fois cela fait, il me restait deux heures.
Pendant ce temps, on avait vérifié tous mes livres (très rapidement, il fallait que les annotations fussent bien visibles pour être détectées) ainsi que le rapport. Les livres étaient ensuite déposés n’importe comment ! J’eus une petite frayeur quand je cherchai la leçon dans le rapport, déjà qu’entre-temps, elle avait changé de numéro, il y avait une rature à la page qui m’intéressait. Allais-je être accusé de fraude ?
Je fis la liste de toutes les décompositions que j’avais en développements pour articuler mon plan. Cela donnait :
I) Similitude et équivalence de matrices
a. Relation d’équivalence
b. Relation de similitude
II) Réduction
a. Dunford
b. Jordan
III) Décomposition polaire
IV) Applications en analyses numériques
a. Décompositions multiplicatives
b. Décompositions additives
Cependant, comme il fallait chercher dans de nombreux livres, la rédaction de mon plan pris beaucoup de temps et je n’en avais plus pour réviser les développements. Vint alors la fin de la préparation.

Après l'oral, Ils me donnèrent la convocation pour le lendemain et je partis l’esprit perplexe. Je n’avais pas fini mon développement, je pensais avoir beaucoup bégayé durant les questions qui n’étaient pas très dures de surcroît.
Et pourtant ! J’obtins la note de 16. Même avec le recul, je n’arrive pas à m’expliquer cette note.

16