Topologie générale et espaces normés

Hage Hassan

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Connexe non connexe par arcs
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz
Simplicité de SO_3(R)
Théorème de projection sur un convexe fermé
Le théorème de Riesz

Utilisée dans les 16 leçons suivantes :

203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
181 (2025) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Utilisée dans les 5 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 37 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
    Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
    Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.
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  • Remarque :
    C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
    Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
    J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
    On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
    Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
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