Référence : Analyse complexe pour la Licence 3

Calcul d'une intégrale par le théorème des résidus

Développement :
Calcul d'une intégrale par le théorème des résidus
Référence :
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- abarrier_dev_calcul_integrale_analyse_complexe.pdf

Principe du prolongement analytique, analyticité des fonctions holomorphes et formule de Cauchy

Développement :
Principe du prolongement analytique, analyticité des fonctions holomorphes et formule de Cauchy
Remarque :
D'après moi pour les leçons : 243, 245 et 267.

Il y a beaucoup de théorèmes dans ce document, j'ai mis à la fin les combinaisons qui sont, je pense, optimales selon la leçon.

Ayant oublié d'écrire les références sur le document :
1) et 2) je n'en ai pas...

3) Tauvel p72 (attention juste faire l'implication facile, pas l'équivalence !)
4) Tauvel p74
5) Tauvel p77
Référence :
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- Formule de Cauchy etc... - V1.pdf

Théorème de Runge (version faible)

Développement :
Théorème de Runge (version faible)
Références :
- Topologie , Queffelec
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- Runge.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
La fin de la 1ère partie et le début de la 3ème font plus "études de fonctions" que "études d'espaces de fonctions"
Références :
Fichier :
- Espaces de fonctions.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Extremas.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Leçon :
Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Meilleur rapport qualité prix : ya 3000.000.000 de trucs à dire, et tout le monde déteste tellement ça que c'est facile de passer pour un génie du mal.
Références :
- Analyse Complexe, Amar, Mathéron
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- 245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Suivre le Tauvel permet de suivre linéairement le livre sans trop se poser de questions, à quelques détails près.
Références :
Fichier :
- 245 - 20sd.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde).
Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !
Références :
Fichier :
- Leçon 265.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Lecon_204 - Connexité. Exemples et applications..pdf

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Lecon_207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications. .pdf

235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

Leçon :
Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
Références :
Fichier :
- Lecon_235 - Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales..pdf

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

Leçon :
Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Références :
- Analyse , Gourdon
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- Lecon_243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples Et Applications..pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Plan fait en début d'année puis modifié.

Dans le II, parler d'analyticité avant l'holomorphie.
Références :
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
- Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
Fichier :
- Lecon_245 - Fonctions d'une variable complexe. Exemples Et Applications..pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[GouAn] Analyse : Gourdon
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
Références :
Fichier :
- 201 Espaces de fonctions. Exemples et applications..pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
Références :
Fichier :
- 204 Connexité. Exemples et applications..pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[GouAn] Analyse : Gourdon
[Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[ElAm] Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions : El Amrani
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
Références :
Fichier :
- 236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables..pdf

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré
Références :
Fichier :
- 245 Fonctions d_une variable complexe. Exemples et applications..pdf

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Leçon :
Utilisation de la notion de convexité en analyse.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Has] Topologie générale et espaces normés : Hage Hassan
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li
[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[Rom] Elements d'analyse réelle : Rombaldi
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[NR] No Reference :(
Références :
Fichier :
- 253 Utilisation de la notion de convexité en analyse..pdf

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Tau] Analyse complexe pour la Licence 3 : Tauvel
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
[Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre
[Ouv1] Probabilités 1 : Ouvrard
[NR] No Reference :(
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
Références :
Fichier :
- 265 Exemples d_études et d_applications de fonctions usuelles et spéciales..pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 219_perso.pdf

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Leçon :
Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
Références :
Fichier :
- 230_perso.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Références :
Fichier :
- 236_perso.pdf

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 245_perso.pdf

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Je n'aborde pas les fonctions méromorphes parce que le plan est déjà assez dense, je trouve. Les espaces de Bergman constituent un développement pour moi, mais ils tombent comme un cheveu dans la soupe dans mon plan. On peut enlever la partie correspondante.
Références :
Fichier :
- 245.pdf

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Fortement inspiré des autres plans sur le site.
Références :
Fichier :
- 207.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 204-manuscrite-min.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- Leçon 201.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

Leçon :
Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

J'avais initialement ajouté le paragraphe sur les angles orientés, non orientés, mesure principale et écart angulaire pour combler le vide laissé par l'absence de caractères, mais finalement la leçon est déjà assez longue sans ça (on peut donc enlever les items 40 à 44).
Références :
Fichier :
- 102.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation en oral blanc.

La combinaison de Gourdon et Dantzer est très efficace et permet de composer le début du plan très rapidement.
Peut-être un peu court, ce plan conviendra aux écritures un peu grosses.
Références :
Fichier :
- 204.pdf

215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

Leçon :
Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année, à l'exception de la dernière partie sur l'holomorphie.
J'ai rajouté cette-dernière suite à la publication du rapport de cette année, mais sans trop de sérieux, car j'ignore ce qui est réellement attendu à part la condition de Cauchy-Riemann. Peut-être vaut-il mieux ne pas la mettre du tout, et en parler durant la défense de plan.
Références :
Fichier :
- 215.pdf

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

Leçon :
Problèmes d’interversion en analyse.
Remarque :
J'ai ajouté la dernière partie sur l'intervention de quantificateurs plus tard, conformément au rapport 2023.
(Je la rédigerai dès que possible)
Références :
Fichier :
- 235.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Référence :
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- 245.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Référence supplémentaire: Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces : Marcel Berger , Bernard Gostiaux (pour les arcs paramétrés)
Références :
Fichier :
- 267.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 201.pdf

203 : Utilisation de la notion de compacité.

Leçon :
Utilisation de la notion de compacité.
Références :
Fichier :
- 203.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 204.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Référence :
- Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
Fichier :
- 245.pdf

204 : Connexité. Exemples et applications.

Leçon :
Connexité. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- b0 204.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon assez longue, j'ai fait le choix de ne pas parler de séries de Laurent et du théorème des résidus, mais on peut aller plus vite sur le début et évoquer ces thèmes.
Références :
Fichier :
- b0 245.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Références :
Fichier :
- b0 265.pdf

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

Leçon :
Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Leçon assez difficile si, comme beaucoup, vous n'avez jamais vu de fonctions spéciales avant l'année de préparation à l'agrégation… Difficile d'avoir un plan narrativement cohérent.
J'ai fait le pari osé d'intégrer des fonctions… à variable matricielle (!) dans mon plan, car les rapports ne l'interdisaient pas. C'est une libre interprétation du titre de la leçon, qui pourrait faire sourire (jaune?) le jury.

Si j'étais passé dessus à l'oral de l'agrégation, j'aurais supprimé la dernière sous-partie par une partie sur la fonction zeta de Riemann, en lien avec un développement sur l'expression de $\zeta(2k)$.
Références :
Fichiers :
- 265.pdf
- 265_fiche.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !
Références :
Fichier :
- 267.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 201.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 245.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Remarque :
C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. Avec un peu plus de temps j'aurais notamment parlé de la méthode de Newton multi-D, de l'algorithme du gradient à pas optimal.
Références :
Fichier :
- 219 _ extremum existence caractérisation recherche.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.
Références :
Fichier :
- Leçon 201.pdf

Analyse complexe pour la Licence 3

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Utilisée dans les 16 leçons suivantes :

Utilisée dans les 3 versions de développements suivants :

Calcul d'une intégrale par le théorème des résidus

Principe du prolongement analytique, analyticité des fonctions holomorphes et formule de Cauchy

Théorème de Runge (version faible)

Utilisée dans les 55 versions de leçons suivantes :

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

265 : Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

203 : Utilisation de la notion de compacité.

204 : Connexité. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

204 : Connexité. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.