(2022 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. et savoir démontrer ses
propriétés fondamentales (en particulier le fait que l'espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1). La distinction entre le déterminant d'une famille de vecteurs
dans une base donnée et le déterminant d'un endomorphisme doit être comprise. L'interprétation en
termes de volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter
d'un déterminant de Vandermonde ou d'un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants doivent être présentées et illustrées. Le polynôme caractéristique
est incontournable (on prendra garde que $A-X I_n$ est à coefficients dans $K[X]$ qui n'est pas un corps).
Parmi les autres applications possibles, on peut penser aux déterminants de Gram (permettant des
calculs de distances), au déterminant jacobien (utile en calcul intégral et en probabilités), à l'utilisation du déterminant en géométrie (coordonnées barycentriques, colinéarité, etc.) ou encore à son rôle
dans l'étude des formes quadratiques. Il est bienvenu d'illustrer la continuité du déterminant par une
application. On pourra aussi s'intéresser à sa différentielle.
Pour aller plus loin, les candidats peuvent s'intéresser aux calculs de déterminants sur Z. Le résultant
et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi
trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions
(2019 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant et savoir démontrer ses propriétés fondamentales (en particulier le fait que l’espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1). La distinction entre le déterminant d’une famille de vecteurs dans une base donnée et le déterminant d’un endomorphisme doit être comprise. L’interprétation en termes de volume est essentielle. Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants doivent être présentées et illustrées. $\\$ Le polynôme caractéristique est incontournable (on prendra garde que $A - XI_n$ est à coefficients dans $\textbf{K}[X]$ qui n’est pas un corps). Parmi les autres applications possibles, on peut penser aux déterminants de Gram (permettant des calculs de distances), au déterminant jacobien (utile en calcul intégral et en probabilités), à l’utilisation du déterminant en géométrie (coordonnées barycentriques, colinéarité, etc.) ou encore à son rôle dans l’étude des formes quadratiques. Il est bienvenu d’illustrer la continuité du déterminant par une application. On pourra aussi s’intéresser à sa différentielle. $\\$ Pour aller plus loin, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminants sur $\textbf{Z}$. Le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions.
(2017 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. Il est possible d’entamer la leçon en disant que le sous-espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1 et, dans ce cas, il est essentiel de savoir le montrer. Le plan doit être cohérent ; si le déterminant n’est défini que sur
$R$ ou $C$, il est délicat de définir $\det(A-X I_n)$ avec A une matrice carrée. L’interprétation du déterminant comme volume est essentielle. On peut rappeler son rôle dans les formules de changement de variables, par exemple pour des transformations de variables aléatoires.
Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants, avec des illustrations sur des exemples, doivent être présentées. Il est bienvenu d’illustrer la continuité du déterminant par une application, ainsi que son caractère polynomial. Pour les utilisations des propriétés topologiques, on n’ommetra pas de préciser le corps de base sur lequel on se place.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminants sur Z avec des méthodes
multimodulaires. Le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent aussi trouver leur place dans cette leçon pour des candidats ayant une pratique de ces notions.
(2016 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il faut commencer par définir correctement le déterminant. Il est possible d’entamer la leçon en disant que le sous-espace des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n est de dimension 1, toutefois, il est essentiel de savoir le montrer. Le plan doit être cohérent ; si le déterminant n’est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $det(A - XI_n)$ avec $A$ une matrice carrée. L’interprétation du déterminant comme volume est essentielle.
Le calcul explicite est important, mais le jury ne peut se contenter que d’un déterminant de Vandermonde ou d’un déterminant circulant. Les opérations élémentaires permettant de calculer des déterminants, avec des illustrations sur des exemples, doivent être présentées. Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial. Pour les utilisations des propriétés topologiques, on n’ommetra pas de préciser le corps de base sur lequel on se place.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser aux calculs de déterminant sur $Z$ avec des méthodes multimodulaires ; de plus, le résultant et les applications simples à l’intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon.
(2015 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Il s'agit encore d'une leçon où les résultats abondent et où le candidat devra faire des choix. On doit pouvoir, dans cette leçon, commencer par définir correctement le déterminant. Beaucoup de candidats entament la leçon en disant que le sous-espace des formes dimension n -linéaires alternées sur un espace de n est de dimension 1, ce qui est fort à propos. Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer.
Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il est délicat de définir $\mathsf{det} (A - X I_n)$ avec $A$ une matrice carrée.
L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle.
Le calcul explicite est important, toutefois, le jury ne peut se contenter que d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! De même il est envisageable que des candidats s'intéressent aux calculs de déterminant sur $\mathbb{Z}$ avec des méthodes multimodulaires. Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon.
Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.
(2014 : 152 - Déterminant. Exemples et applications.)
Il faut que le plan soit cohérent ; si le déterminant n'est défini que sur $R$ ou $C$, il est délicat de définir $det(A - XIn)$ avec $A$ une matrice carrée. L'interprétation du déterminant comme volume est essentielle. Beaucoup de candidats commencent la leçon en disant que le sous-espace des formes $n$-linéaires alternées sur un espace de dimension $n$ est de dimension 1, ce qui est fort à propos.
Toutefois, il est essentiel de savoir le montrer.
Le jury ne peut se contenter d'un Vandermonde ou d'un déterminant circulant ! Le résultant et les applications simples à l'intersection ensembliste de deux courbes algébriques planes peuvent trouver leur place dans cette leçon. D'une manière générale on attend pendant le développement l'illustration d'un calcul ou la manipulation de déterminants non triviaux.
Il serait bien que la continuité du déterminant trouve une application, ainsi que son caractère polynomial.
