Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Caldero, Germoni

Utilisée dans les 21 développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Décomposition polaire
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
SO₃(R) et les quaternions
Isomorphisme entre PSU2(C) et SO₃(R)
Le groupe SO3(R) est simple
Etude de O(p,q)
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id
Formes de Hankel
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Un isomorphisme entre groupes de Lie
Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow
Isométries du cube
Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Utilisée dans les 28 leçons suivantes :

106 (2025) Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
150 (2025) Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
182 (2019) Applications des nombres complexes à la géométrie.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
151 (2025) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
158 (2025) Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
121 (2025) Nombres premiers. Applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
101 (2025) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
103 (2025) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
156 (2025) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
104 (2025) Groupes finis. Exemples et applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
108 (2025) Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
161 (2025) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
153 (2025) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Utilisée dans les 49 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
    La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
    Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.

    Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
    Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement classico classique, mais qui marche très bien: il est plutôt riche, passe bien dans les temps, et parle de topologie, ce qui est toujours mignon quand on est dans des espaces de matrices.
    Bien sûr, il faut mettre un accent important sur les applications qui sont très nombreuses. Pour les références, le H2G2 tome 1 le fait tout à fait honnêtement, et de mémoire, il y a aussi des applications classiques du résultat.
    Les recasages à mon avis:
    - Groupe linéaire d'un ev de dimension finie.
    - Endomorphismes diagonalisables
    - Matrices symétriques et hermitiennes
    - Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
    - Exemples de décompositions de matrices

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 71 versions de leçons suivantes :