Utilisée dans les 49 versions de développements suivants :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Décomposition polaire
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Isomorphisme entre PSU2(C) et SO₃(R)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id
-
Développement :
-
Référence :
Formes de Hankel
-
Développement :
-
Référence :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
-
Développement :
-
Remarque :
Mis à jour le 6.06.17
-
Référence :
-
Fichier :
Etude de O(p,q)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Décomposition Polaire C infini difféomorphisme
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Un isomorphisme entre groupes de Lie
Isomorphismes de groupes projectifs linéaires
Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Formes de Hankel
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
SO₃(R) et les quaternions
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Etude de O(p,q)
-
Développement :
-
Remarque :
Développement faisant intervenir le théorème de décomposition polaire, le fait que exp: S_n(R) dans S_n^++(R) est un homéomorphisme et les isométries d'une forme quadratique particulière.
Développement n°27 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
-
Référence :
-
Fichier :
Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
-
Développement :
-
Remarque :
Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
-
Références :
-
Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
-
Développement :
-
Références :
-
Fichier :
Formes de Hankel
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Le groupe SO3(R) est simple
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Isométries du cube
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
-
Développement :
-
Référence :
-
Fichier :
Décomposition polaire
-
Développement :
-
Remarque :
Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée.
Attention aux coquilles.
-
Référence :
-
Fichier :
Formes de Hankel
-
Développement :
-
Remarque :
Un résultat rigolo, qui correspond au passage au quotient par $(P)$ de la forme quadratique :
$$
\begin{array}{rcl}
\mathbb{C}[X] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\
Q & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i = 1}^{t}m_iQ(\alpha_i)^2
\end{array}
$$
où on a noté $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ les racines complexes distinctes de $P$ et $m_1,\ldots,m_t$ les multiplicités des racines de $P$.
-
Référence :
-
Fichier :
Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Isométries du cube
-
Développement :
-
Remarque :
C'est un développement sympa mais il faut s'entraîner à visualiser les rotations du cube.
J'ai aussi repris un tableau de Geoffroy Deperle à la fin (je le trouve très bien fait) mais il y a une petite coquille je crois.
Je le prends pour les leçons 101 et 191.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 363 (le théorème) et 375 (l'application, elle est sous forme d'exercice).
-
Référence :
-
Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
-
Développement :
-
Remarque :
Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...
-
Référence :
-
Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
-
Développement :
-
Remarque :
Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.
Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.
-
Référence :
-
Fichier :
Décomposition polaire
-
Développement :
-
Remarque :
Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
-
Références :
-
Fichier :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
-
Développement :
-
Remarque :
Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
-
Références :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
-
Développement :
-
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
-
Références :
-
Fichier :
Décomposition polaire
-
Développement :
-
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
-
Référence :
-
Fichier :
Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
-
Développement :
-
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
-
Référence :
-
Fichier :
Décomposition polaire
-
Développement :
-
Remarque :
Un développement classico classique, mais qui marche très bien: il est plutôt riche, passe bien dans les temps, et parle de topologie, ce qui est toujours mignon quand on est dans des espaces de matrices.
Bien sûr, il faut mettre un accent important sur les applications qui sont très nombreuses. Pour les références, le H2G2 tome 1 le fait tout à fait honnêtement, et de mémoire, il y a aussi des applications classiques du résultat.
Les recasages à mon avis:
- Groupe linéaire d'un ev de dimension finie.
- Endomorphismes diagonalisables
- Matrices symétriques et hermitiennes
- Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
- Exemples de décompositions de matrices
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
-
Référence :
-
Fichier :
Utilisée dans les 71 versions de leçons suivantes :
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
160 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
126 : Exemples d’équations diophantiennes.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre et géométrie
, Combes
-
Elements d'analyse et d'algèbre
, Colmez
-
Théorie des nombres, Daniel Duverney
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Algèbre
, Gourdon
-
Fichier :
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Algèbre
, Gourdon
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Théorie des Groupes, Félix Ulmer
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
-
Algèbre
, Gourdon
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Analyse
, Gourdon
-
Topologie
, Queffelec
-
Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
-
Analyse réelle et complexe
, Rudin
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan présenté le jour J.
-
Références :
-
Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[GouAl]Algèbre : Gourdon
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Ber] Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements : Julien Bernis et Laurent Bernis
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
-
Références :
-
Fichier :
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
-
Références :
-
Fichier :
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
-
Références :
-
Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
-
Cours d'algèbre
, Demazure
-
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Cours d'arithmétique
, Serre
-
Fichier :
150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.
-
Leçon :
-
Références :
-
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Algèbre
, Gourdon
-
Théorie de Galois, Gozard
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Cours de mathématiques, Tome 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Arnaudiès, Fraysse
-
Fichier :
204 : Connexité. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 1
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Analyse
, Gourdon
-
Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
-
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard
-
Cours d'analyse
, Pommelet
-
Topologie
, Queffelec
-
Analyse réelle et complexe
, Rudin
-
Un max de maths
, Zavidovique
-
Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
-
Leçon :
-
Références :
-
Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
-
Leçon :
-
Références :
-
Cours d'algèbre
, Perrin
-
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
-
Théorie des groupes (bis), Delcourt
-
Algèbre L3
, Szpirglas
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni
-
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
-
Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
123 : Corps finis. Applications.
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
121 : Nombres premiers. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
-
Références :
-
Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)
/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)
-
Références :
-
Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
-
Leçon :
-
Remarque :
Je déteste.
-
Références :
-
Fichier :