Leçon 241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

(2023) 241

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) L'étude des différentes modes de convergence et leur utilisation ne doit pas donner lieu à un catalogue formel de théorèmes, mais être illustrée par des exemples significatifs et diversifiés. Les fonctions "spéciales" définies par une série sont légion et fournissent aux candidats de multiples possibilités, sans éluder le champ complexe qui leur confère souvent leur pleine signification. Des exemples de sommes de séries continues nulle part dérivables, ou croissantes non constantes et à dérivée nulle presque partout pourront également être proposés. Les candidats peuvent bien sûr aborder les séries entières (qui ont des applications combinatoires pouvant donner lieu à des études asymptotiques intéressantes), les fonctions génératrices des variables aléatoires à valeurs entières ou les séries de Fourier. Ils préféreront dans ce cas en présenter quelques applications significatives plutôt qu'un cours formel. Les candidats solides pourront aborder l'étude des séries de variables aléatoires indépendantes, la formule sommatoire de Poisson et ses applications aux fonctions spéciales (fonction $\theta$ de Jacobi, etc.), la théorie des séries de Dirichlet et ses utilisations en théorie des nombres.

(2019 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) Les résultats généraux sur les différents types de convergence doivent être présentés et maîtrisés. Le jury attend du candidat qu’il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, séries génératrices, séries de Fourier, avec des exemples et des applications. On pourra également s’intéresser à la fonction zêta de Riemann, ou plus généralement aux séries de Dirichlet. Par ailleurs, la leçon n’exclut pas du tout de s’intéresser au comportement des suites et séries de fonctions dans les espaces de type $L^p$ (notamment pour $p=1$), ou encore aux séries de variables aléatoires indépendantes. $\\$ Pour aller plus loin, on pourra présenter comment identifier la limite au sens des distributions d’une famille qui régularise la masse deDiracou encore aborder des exemples de construction de parties finies de Hadamard.
(2017 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) Les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu’il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, séries de Fourier. On pourra éventuellement s’intéresser aussi aux séries de Dirichlet. Il y a beaucoup de développements possibles et les candidats n’ont généralement aucun mal à trouver des idées que ce soit à un niveau élémentaire mais fourni en exemples pertinents ou plus avancé, voire nécessitant une certaine technicité. Par exemple, les théorèmes taubériens offrent une belle palette de développements. Toutefois, il faut vraiment que la leçon soit riche en exemples. Par ailleurs, la leçon n’exclut pas du tout de s’intéresser au comportement des suites et séries de fonctions dans les espaces de type $L^p$ (notamment pour $p=1$), ou encore aux séries de variables aléatoires indépendantes.
(2016 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples. ) Une fois les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu’il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, séries de Fourier. On pourra éventuellement s’intéresser aussi aux séries de Dirichlet. Il y a beaucoup de développements possibles et les candidats n’ont généralement aucun mal à trouver des idées que ce soit à un niveau élémentaire mais fourni en exemples pertinents ou plus avancé, voire nécessitant une certaine technicité. Par exemple, les théorèmes taubériens offrent une belle palette de développements. Par ailleurs, la leçon n’exclut pas du tout de s’intéresser au comportement des suites et séries de fonctions dans les espaces de type $L^p$ (notamment pour $p=1$), ou encore aux séries de variables aléatoires indépendantes.
(2015 : 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.) Une fois les résultats généraux énoncés, on attend du candidat qu'il évoque les séries de fonctions particulières classiques : séries entières, série de Fourier. On pourra éventuellement s'intéresser aussi aux séries de Dirichlet.

Développements :

Plans/remarques :

2023 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


2020 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


2017 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


Retours d'oraux :

2023 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Leçon choisie :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Autre leçon :

    267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :

    Q : Est-ce que vous pouvez justifier pourquoi on peut inverser les sommes (somme double du DSE de $e^{e^z}$)?
    R : Oui. Je cite le théorème d'inversion des sommes (je ne parle pas de fubini).
    Q : Pouvez-vous le vérifier?
    R : Je fais le calcul et montre que les hypothèses sont respectées.

    Questions sur le plan :

    Q : Dans votre proposition 30...
    R : ( je cherche la proposition...) Ah! Oui, vous allez m'interroger sur ... blabla (les détails importent peu, en clair on va se retrouver à comparer convergence Lp et p.p.)
    Q : Oui
    R : Je dis que je me suis rendu compte de cela après la fin du temps imparti et que je ne sais pas si c'est vrai. Si la convergence $L^p$ implique la convergence $p.p.$ alors c'est vrai mais je dis que j'ai un doute sur la véracité de cette implication (Il fallait réviser les probas...). Je me lance dans la démonstration de l'implication.
    Q : C'est faux donc on peut plutôt chercher un contre-exemple.
    R : Je propose des rectangles mais je ne vois pas bien comment on peut ne pas avoir de convergence p.p.. Je dis quelques bêtises qui mènent à la question suivante.
    Q : Est-ce que R\Q est dénombrable?
    R : Non (je rigole, je trouve ça drôle que j'ai dit quelque chose proche de ça).
    Q : Quelle est la mesure de Q?
    R : 0:
    Q : C'est le cas d'un ensemble dénombrable en général?
    R : Oui
    Q : Pourquoi?
    R : En combinant la sigma-additivité d'une mesure et le fait que la mesure de lebesgues envoie les points sur 0, on obtient le résultat.

    Le jury me dit qu'on est proche du contre-exemple mais que l'on va passer à autre chose.

    Q : Dans votre autre développement vous parlez du fait que les fonctions polynomiales sont denses dans les fonctions continues sur [0,1] pour la norme infinie. Est-ce que c'est vrai pour les fonctions continues sur la réunion de [0,1] et de [2,3]?
    R : Oui, ça reste vrai. (Quelques secondes pour réflechir...) En effet, si l'on prolonge f sur [0,3] de manière affine entre 1 et 2, on peut appliquer l'énoncé du plan quitte à dilater [0,1]. J'illustre le tout d'un graphique.
    Q : Graphiquement, comment représente-t-on la convergence uniforme?
    R : On a une bande de demi-largeur epsilon autour du graph de notre fonction. A partir d'un certain rang, les graphs de toutes nos fonctions polynomiales sont dans cette bande. Je dessine cette bande en pointillés rouges.
    Q : Donc visuellement on voit que la restriction de notre fonction prolongée de manière affine est bien limite uniforme de fonctions polynomiales (il voulait conclure avec un peu plus de détails graphiques apparemment). Vous utilisez des résultats d'inversion de sommes. Avez-vous des résultats d'inversion de somme et intégrales?
    R : Je cite fubini et parle des cas positifs et intégrables selon la mesure produit. Je dis qu'on peut toujours voir une somme comme une intégrale et que c'est déjà ce que l'on a fait à la première question sur le développement.
    Q :Pouvez-vous donner le rayon de convergence de la série des $\frac{x^{4n+1}}{((4n)!}$? Calculez la valeur de cette série en $x$ dans le rayon de convergence.
    R : Le rayon de convergence c'est ... (pense l'infini) ... Bon je vais plutôt faire les calculs comme ça on sera sûrs. Je fais une majoration par l'exponentielle sur l'axe réel, je trouve bien un rayon infini. Pour la valeur, je dis que ça me rappelle ch et sh.
    Q : Quel est le DSE de cosinus?
    R : Je le dis à l'oral.
    Q : Ils me demandent de l'écrire.
    R : Ah! Ah je vois! J'utilise donc ch(x) et sh(x) pour trouver l'expression (que j'ai d'abord proposé à l'oral mais il manquait un facteur 1/2, j'ai donc fait les calculs au tableau).

    Exercice :

    Q : Soit an une suite complexe et sa série entière associée de rayon 1. Supposons que la somme des an converge. Que peut-on dire de la série entière quand z tend vers $1^-$ par l'axe réel?
    R : ...
    Q : Déjà, avez-vous une idée de ce qu'il se passe? Y-a-t 'il convergence?
    R : Je dis que ça ne me parait pas très probable car la $\sum |a_n|$ n'est pas nécessairement convergente. Des compensations peuvent faire en sorte que tout ne se passe pas bien.
    Q : Traitons donc d'abord le cas où $\sum |a_n|$ converge.
    R : je me perds un peu et je fais apparaitre des modules en trop, mais, après quelques cquestions du jury, je montre que la limite est $\sum an$ en $1^-$.
    Q : Et donc dans le cas où $\sum a_n$ converge?
    R : Je dis que c'est certain que l'on n'a pas de convergence normale puisqu'une suite alternée donne immédiatement un contre-exemple. Néanmoins, on peut toujours espérer avoir convergence uniforme. Je sèche un peu ...
    Q : Quels outils on a pour étudier des suites dans un evn?
    R : J'ai dit qu'on pouvait montrer qu'elle était de cauchy pour la norme infinie.
    Q : Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy (j'ai eu la même question l'an dernier, sachez donc définir Banach, suite de cauchy,...)?
    R : Je donne la définition.
    Q : Qu'est-ce qu'un Banach?
    R : Définition
    Q : Quand est-ce que les suites de cauchy convergent?
    R : Dans les Banach... Mais c'est dire que si elles convergent, alors elles convergent, ce qui n'est pas passionnant... Je parle des R espaces vectoriels de dimension finie.
    Q : Est-ce qu'ici on a un banach?
    R : Oui, en se ramenant au fait que R est un banach, on peut montrer que
    Q : Oui, donc c'est un Banach. Comment se traduit ici le critère de cauchy pour notre série?
    R : J'écris ce que ça veut dire.

    Le jury m'indique que l'oral est fini.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Neutre mais tirant vers le côté positif dans leur attitude (hochements de tête, confirmation de ce que je disais en le présentant autrement,...). Le jury aidait juste ce qu'il fallait et ne faisait pas remarquer les erreurs, préférant poser une question qui me permettrait de me rattraper.
    Contrairement à mon oral d'algèbre où le jury était plus fouillis, les questions de ce jury paraissaient millimétrées. Elles évaluaient mes connaissances tout en donnant une piste pour avancer sur l'exercice/question.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Cela s'est passé exactement comme je l'imaginais, des questions quand il y en a besoin pour avancer et qui cherchent à cerner mon niveau, du temps pour réfléchir, des questions sur le plan et ses erreurs,...

  • Note obtenue :

    14


2019 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Leçon choisie :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Autre leçon :

    228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Fejer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'étais quasiment à la fin de mon développement lorsque le jury m'a indiqué que le temps était déjà écoulé, et m'a proposé de conclure. J'ai ainsi pu finir. J'ai eu le droit à plusieurs questions sur mon développement, que ce soit pour revenir sur des points que j'avais énoncés rapidement à l'oral, pour avoir plus de précision sur des théorèmes que j'utilisais, ou pour démontrer des points que j'avais admis initialement par manque de temps.
    Il y a eu ensuite une bonne vingtaine de minutes de questions sur mon plan, principalement sur les exemples que j'avais donnés. Il vaut mieux donc bien connaître la démonstration des exemples qu'on cite. Voici les différentes questions que j'ai eues:

    Q: Quels éléments de votre développement vous garderiez dans le cas où f est C1 par morceaux?
    Q: Vous citez Hölder à un moment, vous l'appliquez à quelles fonctions?
    Q: Comment montrez-vous que Dn (noyau de Dirichlet) et Kn (noyau de Fejer) ont cette forme?
    Q: Comment montrez-vous que l'intégrale de Dn vaut 1? Par la formule sin(..) ?
    Q: Vous dites que la limite de x^n sur [0,1] n'est pas continue donc il n'y a pas convergence uniforme, mais comment on montrerait le résultat sans les théorèmes de continuité?
    Q: Vous avez dit qu'une fonction continue et périodique était uniformément continue, pourquoi?
    Q: Votre autre développement parlait de la densité des polynômes dans C([a,b]), y a t'il encore cette densité si nous ne sommes plus sur un segment? Quel est alors l'adhérence des fonctions polynomiales dans R?

    Exercice: On définit S(x) = Somme(n=1 à inf (-1)^n / (n+x)).
    Q: Donner l'ensemble de définition de S
    Q: Montrer sur S est dérivable sur ]-1, inf[
    Q: Quelle est la limite de S en -1. Comme je ne trouvais pas, le jury m'a suggéré d'utiliser le fait que la série soit alternée

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil, les questions s'enchainaient mais je n'ai jamais senti de pression durant cet oral. Un des membres semblait agréablement surpris qu'il y ait une sous-partie sur les séries de Fourier. Le jury aide, mais n'en dit pas trop, ils veulent voir les différentes réflexions qu'on peut avoir avec une petite indication.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Mieux que je ne le pensais. Il y avait 3 spectateurs mais on ne se rend pas du tout compte de leur présence. J'avais beau connaître plutôt bien le plan de cette leçon j'ai fini de l'écrire au bout des 2H45, avec moins de précision sur les derniers théorèmes que j'écrivais.

  • Note obtenue :

    12.75


2017 : Leçon 241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 412 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 23 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 118 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 124 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 47 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 19 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 59 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 217 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 78 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 56 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 166 versions au total)
Exercices pour l'agrégation - Analyse 1 , Chambert-Loir (utilisée dans 5 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 58 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 28 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 33 versions au total)