Utilisée dans les 24 versions de développements suivants :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Référence : El Amrani - Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, p.115-116 & 156-157.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : C'est ce développement qui a été choisi le jour de mon oral et on m'a posé, entre autres, les questions : 2,3,4,5. (Pensez à préparer des questions, pour chaque développement, que le jury serait susceptible de vous poser).
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Remarque :
Démonstration inspirée à la fois de celle de W. Rudin et celle de M. El Amrani, on convole avec le noyau de Gauss.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Remarque :
Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
Polynômes et fonctions de Hermite
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Développement :
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Remarque :
Le développement est long : il ne faut pas hésiter à faire des choix en fonction la leçon.
Selon moi : leçons 209, 213, 234, 250, 265 (2023).
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme).
Attention aux recasages que je propose dans le PDF : le recasage en 235 est abusif après réflexion, et j'aurais ajouté la 245 (fonctions holomorphes...) en plus. Je le ferai plus tard sur le document.
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Échantillonage de Shannon
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Développement :
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Remarque :
La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit).
Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !
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Référence :
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Fichier :
Inégalité de Heisenberg
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Développement :
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Remarque :
Vous pourrez trouver une version dans le El Amrani, mais je me suis plutôt basé sur la version de Berliat, en détaillant peut-être un peu plus certains arguments. Développement très solide à recaser dans les leçons transformation de Fourier mais aussi approximation par des fonctions régulières !! Je le conseille à tous.tes celleux qui sont à l'aise en régularisation par convolution etc !
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Développement plutôt sympa je trouve mais pas dans les plus simples, il faut être au clair calculatoirement. Il y a aussi de "gros" résultats que l'on suppose (cf fin du documents) donc il faut être à l'aise avec ça.
Je prends ce développement pour les leçons 234, 235, 236, 239 et 250.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 115 puis de la page 156 pour le lemme.
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Référence :
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Fichier :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Sommation d'Abel des séries de Fourier
Formule sommatoire de Poisson
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Développement :
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Remarque :
Un développement que je fais avec 3 références. C'est beaucoup, et je pense qu'on peut parfaire leur utilisation, mais je voulais garder ma propre convention de la transformation de Fourier pour la preuve, et avoir un schéma de preuve du Queffélec.
Mais il est sympa et permet de parler de l'espace de Schwartz (si on le souhaite, ce n'est pas obligé en soi).
Il est accompagné d'une application plutôt sympathique.
Attention aux coquilles.
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Références :
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Fichier :
Polynômes et fonctions de Hermite
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fejer
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Développement :
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Remarque :
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .
Développement où je "triais" ce que je présentais selon les leçons. Le recassage dans la leçon 244 est peut-être un peu abusé, mais je n'avais pas le temps d'apprendre un nouveau développement et je trouve que c'est quand même une belle illustration de la formule d'Euler.
Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fejer
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformation de Fourier
Polynômes orthogonaux
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Développement :
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Remarque :
Il faut bien défendre le développement pour la leçon 250 en insistant sur le fait que la fonction F est une "transformée de Fourier généralisée" (car définie sur un domaine du plan complexe et pas uniquement sur R). De plus, si le développement est un peu court alors on peut donner un contre-exemple si l'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée ou bien en déduire une base hilbertienne de L^2(R).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Utilisée dans les 43 versions de leçons suivantes :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
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Analyse numérique et équation différentielle
, Demailly
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Scan un peu flou désolé.
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Références :
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.
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Références :
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Fichier :
235 : Problèmes d’interversion en analyse.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan réalisé durant l'année, non terminé. Cela dit, j'aime beaucoup sa structure, notamment les applications. Ma référence principale est le très bon livre de Stein et Shakarchi (recommandé par le jury en 2004!), mais attention car il utilise la théorie de l'intégrale de Riemann.
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Références :
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Fichier :
267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).
La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de
Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).
Désolé de cette liste de références à la Prévert !
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Références :
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Équations différentielles, Florent Berthelin
-
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Introduction aux variétés différentielles
, Lafontaine
-
Cours de mathématiques, Tome 3, Géométrie et cinématique, Lelong-Ferrand, Arnaudiès
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
-
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
-
Analyse
, Gourdon
-
Topologie
, Queffelec
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Plan construit durant l'année sous l'encadrement d'un enseignant.
La partie Mesure peut être réduite à la Prop. 1
La partie sur la transformation de Fourier dans L1(R) a surtout pour but de placer mon développement, elle peut être remplacée par de la théorie L2
On peut rajouter l'Ex 31 dans le DEV 2 s'il reste du temps
Autre développement possible : Un ou plusieurs théorèmes de convergence
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
-
Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = tout-en-un pour la licence 1
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Références :
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
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Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
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Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Probabilités, Barbe-Ledoux
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Calcul Intégral
, Faraut
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Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Probabilités 1
, Ouvrard
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Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Probabilités 1
, Ouvrard
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Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'une de mes préférées ! On peut parler de beaucoup de choses comme toutes celles suggérées dans le rapport du jury.
Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les ESPACES de fonctions, pas sur les fonctions. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions, et rester sur les propriétés des espaces !
J'ai choisi de parler des polynômes orthogonaux car je le fais en DEV dans d'autres leçons. Pour ce qui est de la partie IV, ce n'est pas vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé, mais je connaissais seulement les idées des démonstrations.
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Références :
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Fichier :
