Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Mohammed El Amrani

Utilisée dans les 13 développements suivants :

Théorème de Fourier-Plancherel
Formule sommatoire de Poisson
Échantillonage de Shannon
Théorème de Fejer
Sommation d'Abel des séries de Fourier
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Injectivité de la transformée de Fourier
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Inégalité de Heisenberg
Polynômes et fonctions de Hermite
Injectivité de la transformation de Fourier
Polynômes orthogonaux
Le théorème de Féjer

Utilisée dans les 20 leçons suivantes :

250 (2025) Transformation de Fourier. Applications.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
234 (2025) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
261 (2025) Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.
267 (2023) Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Utilisée dans les 30 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Développement où je "triais" ce que je présentais selon les leçons. Le recassage dans la leçon 244 est peut-être un peu abusé, mais je n'avais pas le temps d'apprendre un nouveau développement et je trouve que c'est quand même une belle illustration de la formule d'Euler.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
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  • Développement :
  • Remarque :
    Il faut bien défendre le développement pour la leçon 250 en insistant sur le fait que la fonction F est une "transformée de Fourier généralisée" (car définie sur un domaine du plan complexe et pas uniquement sur R). De plus, si le développement est un peu court alors on peut donner un contre-exemple si l'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée ou bien en déduire une base hilbertienne de L^2(R).

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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  • Développement :
  • Remarque :
    On peut faire le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne autrement, en utilisant le théorème des résidus avec un chemin rectangulaire, mais le faire comme ça permet de meilleurs recasages (236,244...)
    Il faut savoir justifier que $\gamma_s$ est une approximation de l'unité, et savoir démontrer le théorème sur les approximations de l'unité (même preuve que Fejer).
    L'utilisation de Fubini doit être correctement justifiée.
    Il faut aussi savoir dire quelques mots sur la non surjectivité : la transformée de Fourier est à image dense (à savoir justifier) mais non surjective (connaître les idées de la démonstration, savoir qu'on utilise le théorème de Banach...)
    Voir la version de Tintin au dessus qui est plus jolie car tapée à l'ordi !
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  • Développement :
  • Remarque :
    Je suis d'accord avec les recasages (209,246) mais je mettrais 5 étoiles aussi pour 246 : tout de même, ce théorème est le cœur de la théorie des séries de Fourier !!
    Ma démonstration est un mix entre celle du El Amrani et celle de mon cours de L3/M1. La seule différence est que El Amrani voit $K_N(t)\frac{dt}{2\pi}$ comme une mesure et applique Hölder à l'intégrale contre cette mesure... Je ne fais pas vraiment comme ça mais ça revient au même bien sûr.
    Le théorème qui suit ne tient pas forcément dans les 15 minutes.
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Utilisée dans les 76 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
    J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...

    /!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
    Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.

    La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
    C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.
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  • Remarque :
    Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
    J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
    Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
    Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
    La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
    Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
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    J'ai abordé cette leçon sous l'angle de : "y a-t-il une symétrie ou non ?"
    Le premier paragraphe traite la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$ donc la réponse est non, on a seulement la formule d'inversion. Dans le deuxième paragraphe, on s'intéresse à la transformée de Fourier-Plancherel et à la restriction sur la classe de Schwartz où l'opérateur Fourier réalise une bijection (et même un isomorphisme isométrique)
    Les théories $L^2$ et $\mathcal{S}$ m'ont demandé pas mal de travail, étant donné qu'on les avait traitées assez succintement en M1. Je conseillerais de faire quelques exercices sur le sujet, et si on n'est pas très à l'aise avec la classe de Schwartz comme moi, ne pas aller vers la topologie d'espace de Fréchet... La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique... Sauf si on en a envie et qu'on maîtrise bien le sujet bien sûr.
    J'ai voulu faire les polynômes orthogonaux en DEV2 mais le rapport du jury m'a un peu refroidi, apparemment il "saoule" le jury pour cette leçon... Lévy-TCL ça rentre bien, on utilise à un moment donné une transformée de Fourier, et la bijectivité de Fourier sur la classe de Schwartz. Pour ce dernier développement, on est un peu obligé d'utiliser le Zuily-Queffelec, mais il faut remanier un peu les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose... (voir ma version du DEV si vous voulez)
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