Utilisée dans les 30 versions de développements suivants :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Référence :
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Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Référence : El Amrani - Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, p.115-116 & 156-157.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : C'est ce développement qui a été choisi le jour de mon oral et on m'a posé, entre autres, les questions : 2,3,4,5. (Pensez à préparer des questions, pour chaque développement, que le jury serait susceptible de vous poser).
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fourier-Plancherel
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Développement :
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Remarque :
Démonstration inspirée à la fois de celle de W. Rudin et celle de M. El Amrani, on convole avec le noyau de Gauss.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
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Développement :
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Remarque :
Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
Polynômes et fonctions de Hermite
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Développement :
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Remarque :
Le développement est long : il ne faut pas hésiter à faire des choix en fonction la leçon.
Selon moi : leçons 209, 213, 234, 250, 265 (2023).
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme).
Attention aux recasages que je propose dans le PDF : le recasage en 235 est abusif après réflexion, et j'aurais ajouté la 245 (fonctions holomorphes...) en plus. Je le ferai plus tard sur le document.
Attention aux coquilles.
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Référence :
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Fichier :
Échantillonage de Shannon
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Développement :
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Remarque :
La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit).
Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !
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Référence :
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Fichier :
Inégalité de Heisenberg
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Développement :
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Remarque :
Vous pourrez trouver une version dans le El Amrani, mais je me suis plutôt basé sur la version de Berliat, en détaillant peut-être un peu plus certains arguments. Développement très solide à recaser dans les leçons transformation de Fourier mais aussi approximation par des fonctions régulières !! Je le conseille à tous.tes celleux qui sont à l'aise en régularisation par convolution etc !
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Développement plutôt sympa je trouve mais pas dans les plus simples, il faut être au clair calculatoirement. Il y a aussi de "gros" résultats que l'on suppose (cf fin du documents) donc il faut être à l'aise avec ça.
Je prends ce développement pour les leçons 234, 235, 236, 239 et 250.
On trouvera la preuve aux alentours de la page 115 puis de la page 156 pour le lemme.
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Référence :
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Fichier :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Sommation d'Abel des séries de Fourier
Formule sommatoire de Poisson
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Développement :
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Remarque :
Un développement que je fais avec 3 références. C'est beaucoup, et je pense qu'on peut parfaire leur utilisation, mais je voulais garder ma propre convention de la transformation de Fourier pour la preuve, et avoir un schéma de preuve du Queffélec.
Mais il est sympa et permet de parler de l'espace de Schwartz (si on le souhaite, ce n'est pas obligé en soi).
Il est accompagné d'une application plutôt sympathique.
Attention aux coquilles.
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Références :
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Fichier :
Polynômes et fonctions de Hermite
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fejer
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Développement :
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Remarque :
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .
Développement où je "triais" ce que je présentais selon les leçons. Le recassage dans la leçon 244 est peut-être un peu abusé, mais je n'avais pas le temps d'apprendre un nouveau développement et je trouve que c'est quand même une belle illustration de la formule d'Euler.
Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fejer
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Injectivité de la transformation de Fourier
Polynômes orthogonaux
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Développement :
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Remarque :
Il faut bien défendre le développement pour la leçon 250 en insistant sur le fait que la fonction F est une "transformée de Fourier généralisée" (car définie sur un domaine du plan complexe et pas uniquement sur R). De plus, si le développement est un peu court alors on peut donner un contre-exemple si l'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée ou bien en déduire une base hilbertienne de L^2(R).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Référence :
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Fichier :
Polynômes orthogonaux
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Développement :
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Remarque :
Il faut bien comprendre pourquoi on va chercher $f$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}, (f|x^n)=0$ !
Ce développement se recase bien. Pour bien se préparer, il faut avoir regardé le contre-exemple du Beck (exercice 3.7) et surtout savoir répondre à la question méga-classique qui suivra forcément ce développement : comment en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ ?
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Référence :
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Fichier :
Injectivité de la transformation de Fourier
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Développement :
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Remarque :
On peut faire le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne autrement, en utilisant le théorème des résidus avec un chemin rectangulaire, mais le faire comme ça permet de meilleurs recasages (236,244...)
Il faut savoir justifier que $\gamma_s$ est une approximation de l'unité, et savoir démontrer le théorème sur les approximations de l'unité (même preuve que Fejer).
L'utilisation de Fubini doit être correctement justifiée.
Il faut aussi savoir dire quelques mots sur la non surjectivité : la transformée de Fourier est à image dense (à savoir justifier) mais non surjective (connaître les idées de la démonstration, savoir qu'on utilise le théorème de Banach...)
Voir la version de Tintin au dessus qui est plus jolie car tapée à l'ordi !
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Référence :
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Fichier :
Théorème de Fejer
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Développement :
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Remarque :
Je suis d'accord avec les recasages (209,246) mais je mettrais 5 étoiles aussi pour 246 : tout de même, ce théorème est le cœur de la théorie des séries de Fourier !!
Ma démonstration est un mix entre celle du El Amrani et celle de mon cours de L3/M1. La seule différence est que El Amrani voit $K_N(t)\frac{dt}{2\pi}$ comme une mesure et applique Hölder à l'intégrale contre cette mesure... Je ne fais pas vraiment comme ça mais ça revient au même bien sûr.
Le théorème qui suit ne tient pas forcément dans les 15 minutes.
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Injectivité de la transformée de Fourier
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Utilisée dans les 76 versions de leçons suivantes :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer
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Analyse numérique et équation différentielle
, Demailly
-
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
-
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Scan un peu flou désolé.
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Références :
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.
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Références :
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Fichier :
235 : Problèmes d’interversion en analyse.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Plan réalisé durant l'année, non terminé. Cela dit, j'aime beaucoup sa structure, notamment les applications. Ma référence principale est le très bon livre de Stein et Shakarchi (recommandé par le jury en 2004!), mais attention car il utilise la théorie de l'intégrale de Riemann.
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Références :
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Fichier :
267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).
La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de
Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).
Désolé de cette liste de références à la Prévert !
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Références :
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Équations différentielles, Florent Berthelin
-
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Introduction aux variétés différentielles
, Lafontaine
-
Cours de mathématiques, Tome 3, Géométrie et cinématique, Lelong-Ferrand, Arnaudiès
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
-
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
-
Analyse
, Gourdon
-
Topologie
, Queffelec
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
-
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Plan construit durant l'année sous l'encadrement d'un enseignant.
La partie Mesure peut être réduite à la Prop. 1
La partie sur la transformation de Fourier dans L1(R) a surtout pour but de placer mon développement, elle peut être remplacée par de la théorie L2
On peut rajouter l'Ex 31 dans le DEV 2 s'il reste du temps
Autre développement possible : Un ou plusieurs théorèmes de convergence
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
-
Analyse
, Gourdon
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
-
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
-
Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
TL1 = tout-en-un pour la licence 1
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Références :
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
-
Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
-
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
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Elements d'analyse fonctionnelle
, Hirsch
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Probabilités, Barbe-Ledoux
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Calcul Intégral
, Faraut
-
Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
-
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
-
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
-
Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
-
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Probabilités 1
, Ouvrard
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Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.
Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.
Bon courage pour votre préparation !
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Références :
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés, Houkari
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Probabilités 1
, Ouvrard
-
Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'une de mes préférées ! On peut parler de beaucoup de choses comme toutes celles suggérées dans le rapport du jury.
Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les ESPACES de fonctions, pas sur les fonctions. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions, et rester sur les propriétés des espaces !
J'ai choisi de parler des polynômes orthogonaux car je le fais en DEV dans d'autres leçons. Pour ce qui est de la partie IV, ce n'est pas vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé, mais je connaissais seulement les idées des démonstrations.
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Références :
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Fichier :
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
/!\ Après coup, j'ai modifié la partie I-2) pour ne parler que de Stone-Weierstrass : voir la partie consacrée à ce sujet dans le Hirsch-Lacombe. En DEV 1, je traite donc le théorème de Stone-Weierstrass et non pas Bernstein et Weierstrass. Cela m'a permis de ne pas utiliser le Zuily-Queffelec pour cette leçon (je n'aime pas du tout ce livre).
Sinon voilà, je pense que tout y est à peu près : formules de Taylor, résultats de densité, convolution, approximation de l'unité, séries de Fourier... On peut sûrement penser à d'autres choses.
Il faut savoir motiver l'intérêt d'approcher une fonction par des fonctions régulières : en fonction de comment on fait une telle approximation, on va pouvoir prolonger des propriétés propres à des fonctions "lisses" à des fonctions plus "sauvages" comme des fonctions $L^p$ par exemple.
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Références :
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'adore cette leçon et je suis tombé dessus en oral blanc en décembre en faisant exactement ce plan là.
La partie IV n'est vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé mais si on en parle, il faut bien le travailler et je ne suis pas sûr que je l'aurais mise le jour J si j'étais tombé dessus.
Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un Hilbert en montrant que son orthogonal est nul, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, savoir calculer une distance (ou une borne inf d'une quantité en reconnaissant une distance) à l'aide du projeté...
Si on parle des polynômes orthogonaux, une question méga-classique qui est systématiquement posée, c'est d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ !
Dans le DEV1, je faisais THM15 et PROP16, si on n'a pas le temps de faire PROP16, il faut quand même savoir la démontrer.
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Références :
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Fichier :
201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
On peut parler de beaucoup de choses et d'espaces dans cette leçon. Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les espaces de fonctions et non pas sur les fonctions en elles-mêmes. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions et plutôt donner des propriétés sur les espaces (densité, compacité, etc.).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
205 : Espaces complets. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut bien connaître des exemples d'espaces complets mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. Le théorème de Baire et ses conséquences est un bon investissement à faire pendant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
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Leçon :
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Remarque :
Le lemme de Baire et ses conséquence n'est pas obligatoire mais c'est un bon investissement à faire pendant l'année. En revanche, parler des espaces de Hilbert semble indispensable sinon la leçon risque d'être trop courte et trop pauvre en résultats.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut essayer de motivier l'approximation d'une fonction par des fonctions régulières et donner le plus d'exemples possibles (approximation par des polynômes, dans les L^p ou encore de fonctions périodiques).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un espace de Hilbert en montrant que son orthogonal est réduit à {0}, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne et savoir calculer une distance à l'aide de la projection orthogonale.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
209 : Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
213 : Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
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Leçon :
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Remarque :
En relisant le rapport du jury, je me rends compte que ma leçon manque peut-être un peu d'exemples "non triviaux"...
/!\ Après coup, j'ai remplacé mon DEV 1 par la formule d'Euler-Maclaurin (voir mon commentaire sur la leçon 224). Je trouve que mes 2 DEV sont pas mal dans cette leçon étant donné que l'un étudie le comportement d'une somme partielle (série harmonique) et l'autre des restes (dans la démonstration, on fait une transformation d'Abel avec le reste)
On peut cependant tout à fait laisser mon ex-DEV1 dans le plan car sa démonstration implique l'utilisation des sommations de relations de comparaison.
Sinon, en révisant cette leçon, j'avais trouvé des exos sacrément tordus (mais apparemment classiques) sur les convergences de séries... Je conseille d'en faire quelques-uns car mine de rien quand on est rendu à bac+5, ces choses-là remontent à la 1ère voire 2ème année...
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Références :
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246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Mon plan est très long, on peut éventuellement le raccourcir. On peut utiliser le Li Intégration au lieu du Briane-Pagès si on préfère.
J'ai beaucoup restreint la partie sur la théorie de la mesure (I-2)), on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme (et c'est tant mieux...)
Je ne pense pas qu'il faille maîtriser les démonstrations de Fatou, TCD, TCM... Qui sont difficiles...
Mais il faut bien savoir les utiliser, penser à Fatou si le TCD et le TCM ne donnent rien !!
On pourrait rajouter en application de Fubini le calcul de l'intégrale de Gauss.
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Références :
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230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
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Leçon :
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Remarque :
Pour cette leçon il faut faire pas mal d'exercice afin de se souvenir d'astuces qui peuvent être utiles.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon repose sur des notions de première année, donc on peut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue, etc.).
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai voulu mettre beaucoup de choses dans cette leçon, selon les préférences on pourra retirer les probas ou la théorie de Baire mais je pense qu'il faut en mettre l'un des deux au vu du nom de la leçon qui incite à mettre d'autres choses que les théorèmes "classiques" d'interversion.
Comme j'ai dit dans d'autres commentaires, si on met la théorie de Baire, il faut l'avoir travaillée c'est-à-dire avoir une idée des démonstrations, et avoir fait quelques exercices.
Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, le TCD, le TCM, Fatou, Fubini, les théorèmes sur les intégrales à paramètres réels (qui découlent du TCD d'ailleurs), le théorème d'holomorphie sous l'intégrale (plus puissant),... Il faut bien accompagner tous ces théorèmes d'exemples d'application qui se trouvent assez bien dans les bouquins. Pensez aussi à la fonction Gamma, à la transformée de Fourier...
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Références :
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Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon très fortement inspirée de celle d'un certain Tintin.... Qui l'a d'ailleurs très bien présentée en classe :)
Il faut que les théorèmes "classiques" de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale y soient, accompagnés d'exemples. Et après il semble pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$. Par contre, je ne pense pas que parler de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$ soit obligatoire... D'autant qu'elle n'est pas définie par une intégrale, mais on peut la motiver par le fait que c'est un "prolongement" de celle sur $L^1(\mathbb{R})$.
De même, les probas font une bonne application mais on peut sûrement les remplacer si on veut éviter à tout prix d'en parler...
Le Zuily-Queffelec (livre à utiliser le moins possible de mon point de vue) ne sert que pour les probabilités, on y trouve les preuves de Lévy, du TCL... Mais qu'il faut quand même remanier car elles utilisent des outils surpuissants pour rien... Voir ma version du développement si vous voulez le faire.
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Références :
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Intégration et applications, Daniel Li
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Analyse
, Gourdon
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Fichier :
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
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Leçon :
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Remarque :
C'est la toute première leçon d'analyse que j'ai faite. Il n'y a peut-être pas assez de contre-exemples... N'hésitez pas à fouiller le Hauchecorne pour en trouver.
Dans le DEV 2, j'avais le temps de faire Abel angulaire et taubérien faible.
J'ai l'impression que c'est une leçon qui porte essentiellement sur la convergence uniforme, donc il faut bien maîtriser ce sujet. Cependant, il ne faut pas trop laisser de côté les autres modes de convergence, on aurait pu mettre la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$, des résultats de densité dans les $L^p$ aussi peut-être, on pouvait développer plus la fonction zeta... J'aurais aussi très bien pu mettre des probas, avec toutes les convergences de variables aléatoires... Encore une fois je l'ai faite en tout début d'année donc je n'avais pas encore le recul de l'année entière... Mais je pense que la leçon tient quand même la route.
J'ai mis que j'avais utilisé le Combes mais en fait ce n'est pas le cas.
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Références :
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Fichier :
244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai mis beaucoup de temps à trouver un plan logique et bien construit pour cette leçon, cela a été fait en collaboration avec Tintin, et je pense qu'il est plutôt pas mal. On peut se dire que parler des fonctions circulaires avant l'exponentielle complexe n'est pas possible, mais en fait si, c'est d'ailleurs comme ça qu'on faisait en Sup, on montrait que cos et sin étaient dérivables en utilisant uniquement le cercle trigonométrique. Ceci soulève une remarque importante : selon l'ordre avec lequel on choisit de mettre les notions, il faut bien s'assurer qu'il n'y a pas d'incohérence, pas de "serpent qui se mord la queue", et qu'on sait à peu près tout démontrer dans cet ordre-là.
C'est pas mal de bosser la fonction Gamma en profondeur, de la définition jusqu'au tracé du graphe (qu'il faut savoir faire si on traite la fonction Gamma en DEV) en passant par son lien avec la fonction Beta (le plus rapide est de passer par la convolution).
Etudier la fonction zeta est aussi possible en DEV, la majorité des résultats se trouve dans le Gourdon, mais on peut approfondir avec le Zuily-Queffelec (même si personnellement je déconseillerais d'utiliser ce livre).
On peut étudier des fonctions encore plus sophistiquées, je pense à la fonction Digamma... On peut aussi s'intéresser au prolongement méromorphe de Gamma...
N'hésitez pas à tracer des graphes en annexe, j'aurais d'ailleurs dû ajouter celui de la fonction Gamma, les dessins sont toujours appréciés du jury.
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Références :
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Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3, Ramis, Deschamps, Odoux
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Elements d'analyse réelle
, Rombaldi
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Cours de mathématiques, Tome 2 : Analyse, Arnaudiès, Fraysse
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Analyse
, Gourdon
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Fichier :
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...
/!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.
La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
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Références :
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250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai abordé cette leçon sous l'angle de : "y a-t-il une symétrie ou non ?"
Le premier paragraphe traite la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$ donc la réponse est non, on a seulement la formule d'inversion. Dans le deuxième paragraphe, on s'intéresse à la transformée de Fourier-Plancherel et à la restriction sur la classe de Schwartz où l'opérateur Fourier réalise une bijection (et même un isomorphisme isométrique)
Les théories $L^2$ et $\mathcal{S}$ m'ont demandé pas mal de travail, étant donné qu'on les avait traitées assez succintement en M1. Je conseillerais de faire quelques exercices sur le sujet, et si on n'est pas très à l'aise avec la classe de Schwartz comme moi, ne pas aller vers la topologie d'espace de Fréchet... La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique... Sauf si on en a envie et qu'on maîtrise bien le sujet bien sûr.
J'ai voulu faire les polynômes orthogonaux en DEV2 mais le rapport du jury m'a un peu refroidi, apparemment il "saoule" le jury pour cette leçon... Lévy-TCL ça rentre bien, on utilise à un moment donné une transformée de Fourier, et la bijectivité de Fourier sur la classe de Schwartz. Pour ce dernier développement, on est un peu obligé d'utiliser le Zuily-Queffelec, mais il faut remanier un peu les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose... (voir ma version du DEV si vous voulez)
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Références :
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Fichier :
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez longue donc il faut se resteindre sur la partie concernant la théorie de la mesure, on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme. Il ne faut pas maîtriser entièrement les démonstrations des théorèmes de Fatou, de convergence dominée et monotone (qui sont difficiles)... Cependant il faut bien savoir les utiliser !
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, les théorèmes de théorie de la mesure, les théorèmes sur les intégrales à paramètres, etc. Il faut bien accompagner ces théorèmes d'exemples et d'applications. On peut également penser aux interversions de symboles avec la convergence uniforme ou le lemme de Baire.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
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Calcul Intégral
, Faraut
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Analyse
, Gourdon
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Fichier :
236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut mettre des manières classiques de calculer les intégrales (intégration par partie, changement de variable) ainsi que les théorèmes de convergence en pensant à bien les illustrer par des exemples. On peut donner d'autres manières de calculer des intégrales comme par exemple avec les probabilités ou l'analyse complexe.
Donner des calculs approchés d'intégrales paraît indispensable également et il faut faire des exercices afin de retenir des "méthodes classiques".
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut que les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale apparaissent et soient accompagnés d'exemples. Il est pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans L^1(R). Les probabilités et l'analyse complexe peuvent faire de bonnes applications.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
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Leçon :
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Remarque :
C'est une leçon qui porte essentiellement sur la convergence uniforme, donc il faut bien maîtriser ce sujet. Cependant, il ne faut pas trop laisser de côté les autres modes de convergence (notamment dans les L^p) et on peut mettre aussi des probabilités avec toutes les convergences de variables aléatoires. Enfin il faut sourtout penser à donner des exemples et des contre-exemples.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut faire attention lorsque l'on parle des fonctions trigonométriques de bien donner un sens logique en sachant comment démontrer les choses (par exemple si on commence la leçon avec les formules trigonométriques du cosinus et du sinus et que l'on dit ensuite que ces fonctions sont dérivables alors il faut faire la démonstration avec ces formules trigonométriques et il ne faut surtout pas dire que c'est une série entière) : c'est cela qui rend la leçon difficile à faire...
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Analyse
, Gourdon
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Elements d'analyse réelle
, Rombaldi
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Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Fichier :
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
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Leçon :
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Remarque :
C'est une leçon très vaste, il faut donc faire des choix... Il faut faire des exercices car ils peuvent vite être difficiles. La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais ça peut être pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans H(Omega) et de dire à quel point il est puissant ! On peut aussi parler de la topologie de cet espace avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Pour cette leçon il suffit globalement de suivre de El Amrani et de se laisser guider. Il faut bien être au clair sur les modes de convergence et les éventuelles implications entre elles car c'est ça qui fait toute la beauté des séries de Fourier ! Il faut également savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie L^2.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
250 : Transformation de Fourier. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon il faut aborder la transformation de Fourier sur différents espaces et voir ce qu'ils apportent : sur L^1, L^2 et S(R). Il faut faire quelques exercices sur la classe de Schwartz si on n'est pas à l'aise et on n'est pas obligé d'aller vers la topologie d'espace de Fréchet. La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique !
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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