Référence : Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement :
Injectivité de la transformée de Fourier
Remarque :
Référence : El Amrani - Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, p.115-116 & 156-157.

NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : C'est ce développement qui a été choisi le jour de mon oral et on m'a posé, entre autres, les questions : 2,3,4,5. (Pensez à préparer des questions, pour chaque développement, que le jury serait susceptible de vous poser).
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- 4 - Injectivité de la transformée de Fourier.pdf

Théorème de Fourier-Plancherel

Développement :
Théorème de Fourier-Plancherel
Remarque :
Démonstration inspirée à la fois de celle de W. Rudin et celle de M. El Amrani, on convole avec le noyau de Gauss.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
- Analyse réelle et complexe , Rudin
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Dev_Fourier_Plancherel.pdf

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Développement :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Remarque :
Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne.
Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes).
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
Fichier :
- PM4TAgreg_Fourier_Gauss_x3.pdf

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement :
Injectivité de la transformée de Fourier
Remarque :
Je ne démontre pas selon le temps qu'il me reste que c'est une approximation de l'unité.
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Injectivité_de_la_transformée_de_Fourier.pdf

Polynômes et fonctions de Hermite

Développement :
Polynômes et fonctions de Hermite
Remarque :
Le développement est long : il ne faut pas hésiter à faire des choix en fonction la leçon.

Selon moi : leçons 209, 213, 234, 250, 265 (2023).

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
- Analyse hilbertienne, Schwartz
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Polynômes_et_fonctions_de_Hermite.pdf

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement :
Injectivité de la transformée de Fourier
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Injectivité de la transformée de Fourier.pdf

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Développement :
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Remarque :
Développement à savoir, c'est très classique (pour les écrits ou même des questions aux oraux). Cependant il est très court donc à faire très lentement au tableau.
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Transformée de Fourier de la gaussienne.pdf

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement :
Injectivité de la transformée de Fourier
Remarque :
Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme).

Attention aux recasages que je propose dans le PDF : le recasage en 235 est abusif après réflexion, et j'aurais ajouté la 245 (fonctions holomorphes...) en plus. Je le ferai plus tard sur le document.

Attention aux coquilles.
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Injectivité de la transformation de Fourier.pdf

Échantillonage de Shannon

Développement :
Échantillonage de Shannon
Remarque :
La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit).
Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Échantillonnage de Shannon.pdf

Inégalité de Heisenberg

Développement :
Inégalité de Heisenberg
Remarque :
Vous pourrez trouver une version dans le El Amrani, mais je me suis plutôt basé sur la version de Berliat, en détaillant peut-être un peu plus certains arguments. Développement très solide à recaser dans les leçons transformation de Fourier mais aussi approximation par des fonctions régulières !! Je le conseille à tous.tes celleux qui sont à l'aise en régularisation par convolution etc !
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- Inégalité de Heisenberg.pdf

Injectivité de la transformée de Fourier

Développement :
Injectivité de la transformée de Fourier
Remarque :
Développement plutôt sympa je trouve mais pas dans les plus simples, il faut être au clair calculatoirement. Il y a aussi de "gros" résultats que l'on suppose (cf fin du documents) donc il faut être à l'aise avec ça.

Je prends ce développement pour les leçons 234, 235, 236, 239 et 250.

On trouvera la preuve aux alentours de la page 115 puis de la page 156 pour le lemme.
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- 19) Injectivité de la transformée de Fourier dans L^1(R).pdf

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Développement :
Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)
Remarque :
On calcule les intégrales de Fresnel en passant par les sommes de Gauss et les séries de Fourier. Comme d'habitude je suis d'assez près la référence qui se passe de justifier la semi-convergence des intégrales mais je suis pas sûr de voir en quoi ce qu'il fait permet de s'en passer. Alors je la démontre à part... C'est un peu nul comme développement mais ça se recase très bien
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- integrales_fresnel.pdf

Sommation d'Abel des séries de Fourier

Développement :
Sommation d'Abel des séries de Fourier
Remarque :
À préparer en avance, la preuve du El Amrani est un peu un jeu de piste.
Référence :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
Fichier :
- DEV_Sommation_d'Abel-Poisson_des_séries_de_Fourier.pdf

250 : Transformation de Fourier. Applications.

Leçon :
Transformation de Fourier. Applications.
Références :
- Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
- Analyse , Gourdon
Fichier :
- 250.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 246.pdf

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

Leçon :
Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
Remarque :
Plan éprouvé par une présentation durant l'année.
Références :
Fichier :
- Plan_206.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Remarque :
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Fichier :
- Malartre_209.pdf

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
Remarque :
Je suis passé sur cette leçon lors de mon oral.
J'ai fait un plan globalement identique, j'ai coupé la partie sur les variables aléatoires et raccourci les paragraphes sur les bases hilbertiennes et Fourier périodique au strict minimum (c'est passé tout juste sur les 3 feuilles...)
Références :
Fichier :
- 213.pdf

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Leçon :
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Références :
Fichier :
- 234.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 246.pdf

250 : Transformation de Fourier. Applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Références :
Fichier :
- 208.pdf

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 213.pdf

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Leçon :
Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 219.pdf

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
Références :
Fichier :
- 236.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Remarque :
Plan scanné dans le désordre désolé. Pour les réf, on peut sûrement se passer de Gourdon et Briane.
Références :
Fichier :
- b0 201.pdf

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Leçon :
Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Remarque :
J'ai trop de réf, faudrait essayer de les réduire.
Références :
Fichier :
- b0 208.pdf

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

Leçon :
Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Remarque :
Scan un peu flou désolé.
Références :
Fichier :
- b0 209.pdf

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Leçon :
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Remarque :
Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.
Références :
Fichier :
- b0 234.pdf

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

Leçon :
Problèmes d’interversion en analyse.
Remarque :
On peut réduire le nombre de réf je pense en se passant du Gourdon et du Briane. En développement j'aurais finalement mis Abel angulaire à la place de Fourier-Plancherel.
Références :
Fichier :
- b0 235.pdf

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- b0 239.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Remarque :
Attention aux sommes sur Z, si vous ne voulez pas parler de familles sommables je vous conseille de lire les remarques de Beck à ce sujet.
Références :
Fichier :
- b0 246.pdf

250 : Transformation de Fourier. Applications.

Leçon :
Transformation de Fourier. Applications.
Remarque :
Si on veut éviter le dév sur les polynômes orthogonaux (trop vu par le jury) on peut le remplacer par thm de Lévy + TCL (qui se recase aussi en probas).
Références :
Fichier :
- b0 250.pdf

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

Leçon :
Transformation de Fourier. Applications.
Remarque :
Une leçon qui fait peur mais qui n'est pas si difficile que ça en fin de compte. On pourrait rajouter la formule sommatoire de Poisson en développement
Références :
Fichier :
- Lecon_250_Couleur.pdf

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

Leçon :
Séries de Fourier. Exemples et applications.
Remarque :
Plan réalisé durant l'année, non terminé. Cela dit, j'aime beaucoup sa structure, notamment les applications. Ma référence principale est le très bon livre de Stein et Shakarchi (recommandé par le jury en 2004!), mais attention car il utilise la théorie de l'intégrale de Riemann.
Références :
Fichier :
- 246.pdf

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

Leçon :
Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).

La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).

Désolé de cette liste de références à la Prévert !
Références :
Fichier :
- 267.pdf

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Leçon :
Espaces de fonctions. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 201.pdf

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 239.pdf

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

Leçon :
Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 245.pdf

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Leçon :
Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Remarque :
Plan construit durant l'année sous l'encadrement d'un enseignant.

La partie Mesure peut être réduite à la Prop. 1
La partie sur la transformation de Fourier dans L1(R) a surtout pour but de placer mon développement, elle peut être remplacée par de la théorie L2

On peut rajouter l'Ex 31 dans le DEV 2 s'il reste du temps

Autre développement possible : Un ou plusieurs théorèmes de convergence
Références :
Fichier :
- version3_lecon234.pdf

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisée dans les 8 développements suivants :

Utilisée dans les 15 leçons suivantes :

Utilisée dans les 16 versions de développements suivants :

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Injectivité de la transformée de Fourier

Théorème de Fourier-Plancherel

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Injectivité de la transformée de Fourier

Polynômes et fonctions de Hermite

Injectivité de la transformée de Fourier

Transformée de Fourier d'une gaussienne

Injectivité de la transformée de Fourier

Échantillonage de Shannon

Inégalité de Heisenberg

Injectivité de la transformée de Fourier

Calcul des intégrales de Fresnel (Fourrier)

Sommation d'Abel des séries de Fourier

Utilisée dans les 29 versions de leçons suivantes :

250 : Transformation de Fourier. Applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

235 : Problèmes d’interversion en analyse.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.

201 : Espaces de fonctions. Exemples et applications.

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.

234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.