Théorie de Galois

Gozard

Utilisée dans les 11 développements suivants :

Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
Théorème de Dirichlet faible
Construction des corps finis
Loi de réciprocité quadratique
Théorème de Wantzel
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q
Théorème de Burnside (Groupes simples)
Existence et unicité d'un corps à q éléments
Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires
L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
123 (2025) Corps finis. Applications.
125 (2025) Extensions de corps. Exemples et applications
141 (2025) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
148 (2025) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
120 (2025) Anneaux Z/nZ. Applications.

Utilisée dans les 13 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
    (p153)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté.

    Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Très bon développement où il ne faut pas hésiter à faire des dessins pendant la présentation. En plus de la démonstration du théorème de Wantzel, j'ai ajouté des compléments sur le théorie de la construction à la règle et au compas. Pour cela je me base quasiment exclusivement sur le Gozard.
    Le lien vers le document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Alors là, il y a des choses à dire...
    Malgré son caractère très classique, ce développement est sans doute l'un des plus dangereux que j'ai choisi. La masse de connaissance à avoir est énorme, beaucoup de choses doivent être sues, ce qui en fait un développement un peu à double tranchant: d'un côté c'est très bien parce qu'il fait réviser beaucoup de choses, mais d'un autre, il demande énormément de temps de préparation ce qui en fait un développement très peu rentable. La seconde page de mon document est entièrement dédiée à des connaissances dont on a besoin pour la démonstration. Chaque point est assez court, mais la somme est conséquente.
    En revanche, dans la leçon sur les corps finis, la maîtrise d'une construction des corps finis est explicitement demandée... On en présente une ici. Si vous faites le choix de prendre ce développement, préparez-le assez tôt dans l'année, de façon à pourvoir le reprendre plusieurs fois et bien le connaître. D'autant plus que le Gozard est franchement minimaliste sur ses explications. Pour couronner le tout, le développement est plutôt long, et on a vite fait de se perdre. Très heureux de ne pas être tombé sur cette horreur le jour J: avec le stress, je pense que ça a vite fait de tourner au vinaigre. Bref à conseiller à ceux et celles qui sont (très) à l'aise sur la théorie des corps, et bon courage!

    Côté recasages à mon avis:
    Corps finis
    Extensions de corps
    Polynômes irréductibles à une indéterminée

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Référence :
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Utilisée dans les 22 versions de leçons suivantes :