Référence : Théorie de Galois

Loi de réciprocité quadratique

Développement :
Loi de réciprocité quadratique
Remarque :
La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat.
(p153)
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Intégrale de Fresnel.pdf

Construction des corps finis

Développement :
Construction des corps finis
Remarque :
La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté.

Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Construction des corps finis.pdf

Théorème de Dirichlet faible

Développement :
Théorème de Dirichlet faible
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Dirichlet faible.pdf

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Développement :
Théorème de Burnside (Groupes simples)
Remarque :
Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.
Références :
Fichier :
- Théorème de Burnside _Groupes simples_.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Le document est très long mais c'est parce que je donne beaucoup de détails et de conseils. J'ai mis aussi à la fin des rappels sur les polynômes cyclotomiques (notamment une introduction intuitive), des rappels de constructibilité à la règle et au compas, et une preuve avec la correspondance de Galois.
Références :
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Théorème de Gauss_Wantzel.pdf

Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires

Développement :
Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires
Remarque :
Ref : Gozard, Théorie de Galois.
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Thm de décomposition poly sym élémentaires.pdf

Existence et unicité d'un corps à q éléments

Développement :
Existence et unicité d'un corps à q éléments
Remarque :
Le théorème central pour l'unité que je ne démontre pas ici est dans le Gozard : Théorie de Galois et n'est pas difficile à retenir.

Attention aux coquilles.
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Existence Unicité corps à q elts.pdf

L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

Développement :
L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme
Remarque :
La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !
Référence :
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- Norme extensions de corps.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Leçon :
Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Références :
- Cours d'algèbre , Perrin
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Leçon :
Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Remarque :
Je recommande fortement le Gozard qui est très agréable à suivre pour cette leçon et très complet.
Références :
Fichier :
- 141 _ 20sd.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon plus difficile à faire qu'il n'y paraît. Grifone est très bien à suivre (même s'il faut parfois le compléter, avec Gourdon notamment) mais pas de manière linéaire.
Références :
Fichier :
- 151 - 20sd.pdf

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
Session 2021.
Références :
Fichier :
- 126.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Théorie de Galois, Gozard
Fichier :
- racinepoly.pdf

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

Leçon :
Extensions de corps. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
Références :
Fichier :
- 125 Extensions de corps. Exemples et applications..pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Per] Cours d'algèbre : Perrin
[Goz] Théorie de Galois : Gozard
[FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN An2] Oraux X-ENS Analyse 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
[FGN Al2] Oraux X-ENS Algèbre 2 : Francinou, Gianella, Nicolas
Références :
Fichier :
- 144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications..pdf

123 : Corps finis. Applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

Leçon :
Extensions de corps. Exemples et applications.
Remarque :
Pour la partie "corps différentiel", il y a une introduction à la fin du Gozard.. Sinon, voir dans Geddes (anglais).
Le deuxième développement est pas de ouf adapté... J'aurais pris un autre truc genre "automorphismes des F_q" par exemple.
Références :
Fichier :
- 125_perso.pdf

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Leçon :
Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 141_perso.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Références :
Fichier :
- 144_perso.pdf

191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

Leçon :
Exemples d’équations en arithmétique.
Remarque :
J'ai aussi utilisé le El Amrani Arithmétique
Références :
Fichier :
- 126.pdf

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

Leçon :
Anneaux Z/nZ. Applications.
Remarque :
J'aurais mis la loi de réciprocité quadratique en 2ème développement.
Références :
Fichier :
- b0 120.pdf

123 : Corps finis. Applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
A la fin de l'année j'aurais rajouté la méthode QR, appliquée à la matrice compagnon associée à un polynôme. Et je changerais la partie localisation de racines.
Références :
Fichier :
- b0 144.pdf

Théorie de Galois

Utilisée dans les 8 développements suivants :

Utilisée dans les 10 leçons suivantes :

Utilisée dans les 8 versions de développements suivants :

Loi de réciprocité quadratique

Construction des corps finis

Théorème de Dirichlet faible

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Newton : décomposition en polynômes symétriques élémentaires

Existence et unicité d'un corps à q éléments

L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme

Utilisée dans les 21 versions de leçons suivantes :

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

123 : Corps finis. Applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

123 : Corps finis. Applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

126 : Exemples d’équations en arithmétique.

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

123 : Corps finis. Applications.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.