Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Décompositions LU et de Cholesky

Développement consistant de deux théorèmes dont on montre l'existence puis l'unicité.

Développement n°20 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE

Critères de convergence pour les méthodes itératives (cas des matrices hermitiennes)

Développement consistant de deux théorèmes donnant des critères de convergence de méthodes itératives dans le cas général et dans le cas de matrices thermiciennes définies positives.

Résultats bonus:
1. Pour toute matrice A dans M_n(C) et pour tout epsilon >0, il existe une norme matricielle subordonnée ||.|| telle que ||A|| <= rho(A) + epsilon
2. Pour toute norme matricielle subordonnée ||.|| dans R^n, il existe un vecteur unitaire v de R^n tel que ||A|| = ||Av||.

Développement n°26 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE

Décompositions LU et de Cholesky

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications.a la r ́esolution approch ́ee d’ ́equatio

Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Plan de la nouvelle leçon, ça vaut ce que ça vaut...

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[NR] No Reference :(
[GouAl] Algèbre : Gourdon

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi
[H2G2] Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1 : Caldero, Germoni
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire

Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[Gri] Algèbre linéaire : Grifone
[NR] No Reference :(
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire
[Cia] Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation : Ciarlet

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons

Références en fin de plan avec les notations:

[GouAn] Analyse : Gourdon
[Rou] Petit guide de calcul différentiel : Rouvière
[NR] No Reference :(
[Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann
[All] Algèbre linéaire numérique : Allaire

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

Développements choisis : Décomposition polaire et Décompositions LU + Cholesky.
Il faut peut-être ajouter les algorithmes en annexe.