Utilisée dans les 34 versions de développements suivants :
Table de caractères de D4 et H8
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères)
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
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Développement :
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Références :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Etude de O(p,q)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité
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Développement :
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Remarque :
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.
Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
D'après moi pour les leçons : 101, 121, 123 et 170.
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
Développement très classique, relativement court et pas trop dur.
On utilise le théorème spectral, le théorème de diagonalisation simultanée, les polynomes d'interpolation de Lagrange, la caractérisation séquencielle de la continuité, la compacité de On(R), et le fait qu'une suite dans un compact qui admet une seule valeur d'adhérence est convergente.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : Le jury a choisi ce développement le jour de mon oral, on m'a, entre autres, posé les questions 1,2,3.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
Il ne faut pas traîner pour le faire rentrer en 15 minutes sans occulter un argument. Ayez quelques exemples d'applications en tête pour le plan/les questions, c'est un résultat très utile (et pour l'anecdote, un des préférés de D. Perrin)
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire pour O(p,q)
Action de Steinitz
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Développement :
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Remarque :
NH2G2 tome 1, p4, p11
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Référence :
Sous-groupes à 1 paramètre de GLn(C)
Théorème de Lie-Kolchin
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Formes de Hankel
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Développement :
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Remarque :
CouZaert est passée sur ce développement lors de son oral d'algèbre (leçon 144). Nous avons relu cette version ensemble.
La version du NH2G2 tome 1 est assez elliptique : quelques passages mériteraient d'être plus détaillés.
Selon moi : leçons 144 et 170 (2023). À la limite 171, mais je pense qu'il y a bien mieux à faire.
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
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Référence :
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Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 155, 156, 158
Page 357
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Référence :
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Fichier :
Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent
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Développement :
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Remarque :
Ce document est long mais c'est parce que je donne des détails, des conseils et des résultats supplémentaires après le développement. Je m'appuie aussi sur les tableaux de Young et je vous invite à le faire car, comme je le dis dans le document, le développement est vraiment simple à retenir quand on se base sur les tableaux de Young. J'ai mis quelques dessins pour essayer de vous expliquer le principe mais le mieux est de se faire aider par un professeur.
Pour moi, il y a plus de recasages que ça. J'ai mis mes recasages au début du document. Vous pouvez bien sûr ne pas être d'accord. L'important est de savoir défendre ses choix face au jury.
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Références :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
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Développement :
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Remarque :
Ce document est très long mais c'est parce que je fais une sorte d'introduction au problème et j'essaie de ne pas parachuter le supplémentaire stable, mais de l'introduire petit à petit.
Pour moi, c'est 5 étoiles dans la leçon sur la dualité et je le justifie dans mon document.
Je met aussi un lien à la fin vers un document qui présente des applications du théorème de Frobenius.
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Références :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
Je le fais sans les polynômes de Lagrange. L'idée des sous-espaces propres est beaucoup plus naturelle.
Leçons 106, 154, 157, 158
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Référence :
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Fichier :
Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Remarque :
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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Référence :
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Fichier :
Classification des formes quadratiques sur R et C
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition polaire
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
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Développement :
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Remarque :
Un grand classique.
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Référence :
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Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
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Développement :
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Remarque :
J'aime ce développement.
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Référence :
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Fichier :
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
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Développement :
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Remarque :
Un développement sympathique, qui ressemble beaucoup, dans l'idée, au développement sur la décomposition polaire. D'ailleurs, celle-ci peut s'en déduire. La référence que je donne le fait de façon acceptable. En terme de temps, le développement est quand même assez long, et on ne peut pas vraiment se permettre de tergiverser en explications. Je ne prouvais pas le calcul de la norme subordonnée à la norme 2 (qui vaut le rayon spectral de la matrice) Ceci dit, beaucoup de résultats sont à savoir, notamment la continuité de l'exponentielle complexe et ce calcul de la norme d'opérateur associé à la norme 2. Je déconseille de mettre ce développement en face du développement sur la décomposition polaire, c'est trop redondant. Je donne tout de même la liste de toutes les leçons dans lesquelles il se recase à mon avis.
Exponentielle de matrices
Endomorphismes diagonalisables
Matrices symétriques réelles et hermitiennes
Endomorphismes remarquables d'un ev euclidien
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Référence :
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Fichier :
Utilisée dans les 33 versions de leçons suivantes :
265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
123 : Corps finis. Applications.
156 : Exponentielle de matrices. Applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
148 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon !
Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon.
Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.
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Références :
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Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation
, Ciarlet
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
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Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Calcul mathématique avec Sage
, Casamayou
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A Course in Computational Algebraic Number Theory, H. Cohen
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Algèbre
, Gourdon
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Algorithmique algébrique, P. Naudin, C. Quitté
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichiers :
267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
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Leçon :
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Remarque :
Ébauche de plan, que je publie car j'ai passé pas mal de temps dessus et je l'aimais beaucoup (je le réécrirai peut-être un jour).
La première partie vient notamment d'un très agréable cours de géométrie différentielle de
Sigmundur Gudmundsson (enseignant à l'université de Lund, Suède), malheureusement non édité. Je n'ai pas trouvé de référence claire en français sur la géométrie des courbes, qui ne fasse pas des centaines de pages (je pense à vous, Berger et Gostiaux).
Désolé de cette liste de références à la Prévert !
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Références :
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Équations différentielles, Florent Berthelin
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
-
Introduction aux variétés différentielles
, Lafontaine
-
Cours de mathématiques, Tome 3, Géométrie et cinématique, Lelong-Ferrand, Arnaudiès
-
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
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Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel
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Fourier Analysis, Stein, Shakarchi
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Analyse
, Gourdon
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Topologie
, Queffelec
-
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
104 : Groupes finis. Exemples et applications.
106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs (groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal...)
Les groupes d'isométries du tétraèdre et du cube sont à mon sens un bon investissement à faire pendant l'année.
Comme vous pouvez le constater, j'ai fortement réduit la partie "structure des groupes abéliens (de type) fini" car je n'étais pas du tout à l'aise là-dessus.... Si on en parle, il faut dans tous les cas savoir écrire un produit cartésien de groupes cycliques sous la forme du théorème.
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une de mes leçons préférées (bizarrement...) ! J'ai appris plein de trucs en la faisant notamment sur le rayon spectral sur lequel je ne savais rien, et même sur l'exponentielle matricielle en général je ne connaissais pas grand chose, ça vaut le coup de bosser les démonstrations.
Concernant le DEV 1 (surjectivité de l'exponentielle), on peut faire autrement.
Au cours de l'année, j'ai modifié mon DEV : je ne montrais plus le COR41 (je faisais autrement dans un autre DEV pour montrer ce résultat) mais à la place je démontrais le lemme selon lequel : Si $\rho(A)<1$, alors $e^{\ln(I_n+A)}=I_n+A$
Ce lemme sert pour prouver le THM40.
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon me faisait peur au début mais finalement on trouve pas mal de choses à dire. Il faut bien faire le lien avec les formes quadratiques, présenter toutes les réductions et décompositions qui impliquent des matrices symétriques...
Je n'ai peut-être pas assez parlé des matrices hermitiennes, mais il n'y avait pas grand chose dans les références.
A ce stade de l'année, je n'avais pas encore bien bossé les formes quadratiques, c'est pourquoi la partie II-2) est un peu faible mais on peut bien sûr étoffer. D'ailleurs, le DEV 1 devrait être séparé en deux : le COR24 resterait dans cette sous-partie mais le THM25 devrait aller dans II-2) après le théorème de Sylvester.
L'application au calcul différentiel semble indispensable, mais la partie sur les vecteurs Gaussiens ne l'est pas. Personnellement, je l'ai mise parce que j'aime beaucoup les vecteurs Gaussiens, mais ne les mettez que si vous comptez les travailler.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
Là encore une de mes leçons préférées car il suffit de dérouler le Rombaldi ! En plus j'aimais beaucoup les espaces euclidiens.
Il faut savoir démontrer le théorème spectral, et classifier une isométrie vectorielle en dimension 2 ou 3 (matriciellement).
Les indispensables : orthogonaux, symétriques, symétriques (définis) positifs et on peut ajouter les endomorphismes normaux si on les a travaillés.
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai eu beaucoup de difficultés à trouver des références pour cette leçon, c'est pour cela que certains résultats sont marqués d'un cœur au crayon, signifiant "par cœur".
Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené. J'ai appris beaucoup de choses que je ne savais pas concernant le pivot de Gauss en faisant cette leçon, notamment ses nombreuses applications (qui étaient passées à la trappe en première année à cause du confinement...)
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Références :
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Fichier :
170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon m'a demandé beaucoup de travail car je connaissais très peu les formes quadratiques avant de rentrer en prépa agreg : ça vaut le coup de les travailler pour prendre du recul sur plein de choses, et surtout parce que mine de rien ce n'est pas marginal au programme de l'agreg (ça peut tomber aux écrits !)
Les résultats marqués d'un cœur sont ceux que je rajoutais "par cœur" car introuvables dans les références...
Pour Sylvester, je définis les choses dans un certain ordre qui n'est pas celui des livres mais qui est celui du cours sur lequel je me suis basé pour travailler les formes quadratiques.
Ce n'est pas du tout obligatoire de parler du groupe orthogonal pour une forme quadratique, d'ailleurs si j'étais tombé sur cette leçon le jour J et que je l'avais choisie, je n'en aurais pas parlé.
Il est indispensable de savoir mettre en œuvre la méthode de Gauss en pratique pour décomposer en carrés !
Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie.
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Références :
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Fichier :
101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime les corps.
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
J'execre cette leçon.
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Références :
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Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
