Développement : Théorème de Fejer

Détails/Enoncé :

Soit $f$ une fonction continue et $2\pi$-périodique, alors $\sigma_n(f)$ converge uniformément vers $f$.

Il y a aussi la version $L^p$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    D'après moi pour les leçons : 209 et 246.

    J'ai rajouté l'application au cas des fonctions $C^0$ et $C^1 pm$. Il semble que le jury apprécie aussi celle à l'injectivité de l'application qui à une fonction $L^1$ associe la suite de ses coefficients de Fourier.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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    Les arguments à la fin sont similaires à ceux du théorème de Weierstrass (par convolution). Le premier lemme est une question classique (tombée à l'écrit cette année).

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Développement où je "triais" ce que je présentais selon les leçons. Le recassage dans la leçon 244 est peut-être un peu abusé, mais je n'avais pas le temps d'apprendre un nouveau développement et je trouve que c'est quand même une belle illustration de la formule d'Euler.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Je suis d'accord avec les recasages (209,246) mais je mettrais 5 étoiles aussi pour 246 : tout de même, ce théorème est le cœur de la théorie des séries de Fourier !!
    Ma démonstration est un mix entre celle du El Amrani et celle de mon cours de L3/M1. La seule différence est que El Amrani voit $K_N(t)\frac{dt}{2\pi}$ comme une mesure et applique Hölder à l'intégrale contre cette mesure... Je ne fais pas vraiment comme ça mais ça revient au même bien sûr.
    Le théorème qui suit ne tient pas forcément dans les 15 minutes.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 92 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 109 versions au total)