Utilisée dans les 17 versions de développements suivants :
Corps des nombres algébriques
Théorème spectral et ses trois corollaires
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Développement :
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Remarque :
Recasages: 149, 151, 155, 158
Rombaldi p734 (Lemmes, Thm) + Gourdon (v3) p256 (Cors)
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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Références :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
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Développement :
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Remarque :
Ce document est très long mais c'est parce que je fais une sorte d'introduction au problème et j'essaie de ne pas parachuter le supplémentaire stable, mais de l'introduire petit à petit.
Pour moi, c'est 5 étoiles dans la leçon sur la dualité et je le justifie dans mon document.
Je met aussi un lien à la fin vers un document qui présente des applications du théorème de Frobenius.
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Références :
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Fichier :
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation aléatoire
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Développement :
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Remarque :
Une version sympa trouvée dans le Gourdon et sur Mathstackexchange pour la partie sur les points fixes. Développement très fun !
Édit : j'ai rajouté un théorème limite central sur le nombre de cycles, un résultat que j'ai trouvé dans le Garet, Kurtzmann et que j'ai montré à la main plutôt qu'avec le théorème limite central de Lindeberg, à noter pour la leçon 262 !
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Références :
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Fichier :
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
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Développement :
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Remarque :
En rédigeant ce développement, je me suis rendu compte qu'on utilisait plein de fois le théorème chinois. Ainsi, j'ai rajouté dans mon pdf plein de résultats importants qui utilisent le théorème chinois, comme les conditions sur $n$ pour assurer la cyclicité de $\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\right)^{\times}$ ou le critère de Korselt pour les nombres de Carmichaël. Cela peut égayer ce développement qui peut paraître morose au premier abord. Enjoy !
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Références :
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Fichier :
Lemme des noyaux, application
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Développement :
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Référence :
Réduction des endomorphismes normaux
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Trigonalisation simultanée
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Décomposition de Dunford
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Développement :
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Remarque :
Ce développement est efficace, il se recase bien. Par contre, il est lourd en notations dans la première démo, il faut bien s'entraîner. Il s'agit de la DEUXIEME version de Dunford dans le Gourdon ! Une de mes professeurs avait insisté sur le fait que le jury n'aimait pas la première !
Il faut savoir trouver les projecteurs spectraux en pratique et en déduire la décomposition de Dunford comme dans la preuve (décomposition en éléments simples...voir le sujet maths 1 CCINP 2021 qui traite tout ça sur des exemples, c'est assez éclairant). Il faut aussi avoir très bien compris les arguments de la partie unicité (ce genre de choses tombe souvent à l'écrit)
Je l'ai recasé dans la 142 mais c'est très limite...
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Référence :
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Fichier :
Endomorphismes semi-simples
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Développement :
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Remarque :
Ce développement ne fait pas partie des plus simples, mais le travaillant on y arrive.
Les remarques en noir sont celles que j'ai ajoutées lorsque je le travaillais. A la fin, la remarque a été coupée par le scanner, mais tout est dans le Gourdon.
Ce développement a l'avantage d'être parfait pour la 151 Sous-espaces stables, leçon pour laquelle les développements peuvent être un peu bancals...
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Référence :
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Fichier :
Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard
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Développement :
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Remarque :
Je recase ce développement dans 149 (Déterminant) et 161 (Distances, isométries). Je suis également d'accord avec le recasage dans 191.
Dans les références que j'ai trouvées, les choses ne sont pas faites tout à fait correctement, surtout le cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard. J'ai présenté ce développement devant un ami en justifiant simplement à l'aide de ce que j'ai souligné en noir sur la 2e page et il m'a fait remarquer que ce n'était pas trivial... On a ensuite fait le détail que j'ai recopié en dessous.
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Références :
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Fichier :
Nombre de dérangements de $\mathfrak{S}_n$
Divergence de la série des inverses des nombres premiers
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Développement :
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Remarque :
On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement.
Côté recasages à mon avis:
Séries de nombres réels ou complexes
VA discrètes
Indépendance en proba
Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon "nombres premiers" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon.
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références :
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Fichier :
Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
Fonction zeta et nombres premiers
Dunford et l'exponentielle de matrice
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Développement :
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Remarque :
Pour les leçons : 150, 151, 152, 155, 156.
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Références :
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Fichier :
Utilisée dans les 60 versions de leçons suivantes :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Référence :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Leçon qui a tourné au diesel pour moi mais une fois son ébauche de plan en tête ça roule tout seul.
Références en fin de plan.
Etant une leçon sur des matrices, il vaut mieux éviter de proposer des développements version endomorphisme et de trop s'attarder sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques même si un petit détour est inévitable selon moi (c'est écrit dans le rapport dtfc).
On peut remplacer le Isenmann par le Rombaldi pour la décomp. polaire et le X-ENS Algèbre 3 pour John-Löwner ;)
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Références :
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Fichier :
120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
126 : Exemples d’équations en arithmétique.
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Leçon :
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Remarque :
Références supplémentaires:
- Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg
- Algèbre I : Daniel Guin
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Références :
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Fichier :
141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
152 : Déterminant. Exemples et applications.
153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé sur cette leçon à l'oral. J'ai fait un plan globalement similaire à celui-ci, dont j'étais un peu moins satisfait.
Je n'ai pas fait de partie "Applications". Plutôt que de faire un paragraphe sur la décomposition de Dunford et le critère de Klarès, j'ai mis ce-dernier dans le paragraphe Critères de diagonalisabilité (en précisant dans la défense que ça nécessitait Dunford), et le paragraphe de Dunford est devenu un paragraphe "Application: puissance et exponentielle d'une matrice" de la partie II. Le paragraphe de topologie y a également été déplacé. En contrepartie, j'ai sérieusement raccourci le paragraphe sur les théorèmes spectraux au strict minimum, et je n'ai pas parlé de la réduction des endomorphismes normaux.
On peut étoffer la partie de topologie.
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Références :
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Fichier :
157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
La leçon que je préfère dans l'agrégation.
Attention, cette leçon est potentiellement très casse-gueules si vous n'avez jamais eu d'UE de mathématiques discrètes ; par exemple, l'outil des séries génératrices est très puissant mais encore faut-il savoir s'en servir pour le dénombrement !
Je me suis servi principalement d'un livre anglais peu connu en France, comprenant des milliers d'exemples, sur lequel j'avais déjà travaillé durant ma scolarité. On pourra se rabattre sur d'autres livres, mais il est vrai que trouver des exemples est un peu dur : les anglophones raffolent de maths discrètes !
(la référence de l'application 6 : Wikipédia, mais vous pourrez sortir tout exemple drôle qui vous vient à l'esprit)
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Références :
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Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction, Ralph P. Grimaldi
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Proofs from the book (Raisonnements divins en fr), Aigner, Ziegler
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis
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Exercices mathématiques
, Francinou, Gianella
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Fichier :
102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)
Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...
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Références :
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Fichier :
105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...
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Références :
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120 : Anneaux Z/nZ. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon étant assez vaste, on pourrait ajouter des choses ou remplacer les nombres de Carmichael par autre chose (par exemple classification des groupes d'ordre $p^2$ et $2p$)
On peut faire les conditions de cyclicité de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ en développement.
Dans le DEV 2, je n'ai le temps de faire que le THM 45
Il faut savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
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Références :
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142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !
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Références :
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144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est relativement difficile même si on trouve facilement plein de choses à y mettre. La difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça (du moins parmi mes plans) cela demande du travail juste pour cette leçon là...
Dans le DEV 1, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie).
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Références :
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148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)
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Références :
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il me semble que les gens font souvent l'impasse sur cette leçon (en tout cas c'était le cas dans ma prépa agreg) mais ça ne me paraît pas si compliqué de travailler ça. J'ai même plutôt apprécié le faire car j'ai appris plein de trucs notamment sur l'aspect géométrique avec les matrices de Gram : voir le document sur le site de Jérôme Von Buhren.
J'ai choisi de le définir à la manière de Gourdon (car c'est comme ça que j'avais appris en 1ère année) mais Grifone fait d'une autre manière... à voir selon les préférences.
Le jour J, je n'aurais certainement pas mis la PROP 34 sur le déterminant de Cauchy car la démonstration est IMMONDE.
Pour le DEV 2, attention au cas d'égalité, il faut le traiter soigneusement. Il est souvent bâclé dans les références (Gourdon et Grifone)
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Références :
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150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais fait ce plan qui a été validé. Le prof avait bien dit que c'était important de parler des endomorphismes cycliques, et qu'on pouvait aller jusqu'à Frobenius (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique au moyen de l'algorithme de Smith).
J'attire l'attention sur la REM19 : il faut savoir faire en pratique avec une matrice 3x3
Concernant Dunford, le prof m'avait dit que c'était un peu superflu dans cette leçon, même si c'est pas complètement impertinent... On peut choisir d'enlever ces quelques points et d'aller un peu plus loin sur les endo cycliques. Au passage, il est utile de bosser les endomorphismes cycliques car ils tombent souvent aux écrits.
On m'avait demandé en exo la dimension du commutant d'un endomorphisme diagonalisable. Réponse : c'est la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres.
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Références :
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Fichier :
154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.
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Références :
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Fichier :
155 : Exponentielle de matrices. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Une de mes leçons préférées (bizarrement...) ! J'ai appris plein de trucs en la faisant notamment sur le rayon spectral sur lequel je ne savais rien, et même sur l'exponentielle matricielle en général je ne connaissais pas grand chose, ça vaut le coup de bosser les démonstrations.
Concernant le DEV 1 (surjectivité de l'exponentielle), on peut faire autrement.
Au cours de l'année, j'ai modifié mon DEV : je ne montrais plus le COR41 (je faisais autrement dans un autre DEV pour montrer ce résultat) mais à la place je démontrais le lemme selon lequel : Si $\rho(A)<1$, alors $e^{\ln(I_n+A)}=I_n+A$
Ce lemme sert pour prouver le THM40.
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Références :
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Fichier :
156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai parlé des endomorphismes cycliques parce que le rapport du jury disait que c'était possible, et parce que j'aimais bien ça, mais je pense que ce n'est pas du tout obligatoire. Par contre, ça vaut le coup de se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés car c'est un peu la "finalité" de la théorie. Les démos sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique.
Pardonnez mon dessin ultra moche en annexe, vous le trouverez dans le Beck.
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Références :
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Fichier :
157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon me faisait peur au début mais finalement on trouve pas mal de choses à dire. Il faut bien faire le lien avec les formes quadratiques, présenter toutes les réductions et décompositions qui impliquent des matrices symétriques...
Je n'ai peut-être pas assez parlé des matrices hermitiennes, mais il n'y avait pas grand chose dans les références.
A ce stade de l'année, je n'avais pas encore bien bossé les formes quadratiques, c'est pourquoi la partie II-2) est un peu faible mais on peut bien sûr étoffer. D'ailleurs, le DEV 1 devrait être séparé en deux : le COR24 resterait dans cette sous-partie mais le THM25 devrait aller dans II-2) après le théorème de Sylvester.
L'application au calcul différentiel semble indispensable, mais la partie sur les vecteurs Gaussiens ne l'est pas. Personnellement, je l'ai mise parce que j'aime beaucoup les vecteurs Gaussiens, mais ne les mettez que si vous comptez les travailler.
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Références :
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Fichier :
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai eu beaucoup de mal à élaborer un plan satisfaisant pour cette leçon mais je pense que c'est à peu près bon.
/!\ PROBLEME : Le DEV 1 ne rentre pas du tout dans cette leçon. J'ai cherché désespérément un DEV pour cette leçon et à la toute fin de l'année, j'ai fini par mettre le dual de $\mathcal{M}_n(K)$... Le problème était qu'il y avait un gros écart de difficulté entre celui-là et les extrema liés... Mais il fallait bien mettre quelque chose...
La partie III-2) a changé 3 fois au cours de l'année, et finalement ça a été justement celle sur le dual de $\mathcal{M}_n(K)$.
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Références :
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Fichier :
190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon, j'ai remplacé le DEV 2 par "Nombre de dérangements dans $\mathfrak{S}_n$" que je préférais aux nombres de Bell (parce que pas besoin de Fubini ou quoi...)
J'aime bien cette leçon car il y a de nombreuses possibilités de plan, de développements... Personnellement, j'ai choisi d'orienter vers la théorie des groupes et des corps parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut aller vers les probas, ou d'autres choses... On peut présenter des isomorphismes exceptionnels aussi...
Par contre j'avais un peu peur des questions qui peuvent impliquer des urnes ou des machins comme ça, les exercices de dénombrement peuvent être assez difficiles ou astucieux... Il faut essayer d'en faire pendant l'année je pense.
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Références :
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Fichier :
121 : Nombres premiers. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très vaste et il faut faire des choix, c'est donc l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise ! Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat et il est donc difficile de se démarquer dessus et les candidats sont censés bien maîtriser le sujet... Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant très longues) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (le théorème de Dirichlet faible).
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
123 : Corps finis. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps fini à q = p^n éléments et surtout construire par exemple F_4 ou F_9 explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut également savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans F_q.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
125 : Extensions de corps. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
La grande majorité de la leçon peut être faire uniquement en utilisant le Perrin !
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !
Le jury considère cette leçon comme difficile et donc maîtriser la base suffit.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Fichier :
191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
ATTENTION : J'ai fait cette leçon au mois de mai, puis je me suis rapidement rendu compte que mon plan était mal articulé, j'ai donc échangé et/ou regroupé certaines sous-parties. Il faut prendre en compte le plan général que j'ai mis en page 1 du PDF, puis pour chaque sous-partie se référer à celle qui correspond dans la leçon pour y voir le contenu.
Je suis désolé, je n'ai pas pris le temps de refaire la leçon en entier après avoir modifié le plan, mais c'est juste les mêmes choses mises dans un ordre différent !
Cette leçon est très intéressante car elle permet vraiment de choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. Elle peut effrayer mais avec un peu travail on s'en sort ! On peut piocher dans les groupes évidemment, mais aussi la géométrie affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité !
Voir aussi la leçon de Tintin qui est très bien !
Les tableaux proposant la classification des isométries vectorielles en dimension 2 et 3 en annexe sont bien mieux que ceux de ma leçon 161... Je recommande donc d'apprendre plutôt ceux-ci (ils sont dans le Garnier et le Combes il me semble)
Pour les références, voir aussi le Aebischer pour les coniques.
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Références :
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141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
La majeure partie de cette leçon peut être faite avec le Perrin (surtout les extensions de corps). Il faut donner des critères d'irréductibilité avec des applications et arriver à les mixer avec la théorie des corps et si possible parler un peu d'algèbre linéaire avec le polynôme minimal et ce qu'il apporte. Il faut également savoir montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme F_4 ou F_9 avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses, etc.).
Il faut éviter de s'aventurer en théorie de Galois car ça demande un gros investissement juste pour peu de leçons et le sujet est très compliqué avec peu de recul... Par contre, la constructibilité n'est pas très difficile et on peut en parler dans plusieurs leçons donc l'investissement peut vite être rentabiliser !
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Références :
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144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est relativement difficile car malgré le nombre de choses à dire il y a énormément de choses à maîtriser. Toute la difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça, ça demande pas mal de travail juste pour une leçon...
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Fichier :
149 : Déterminant. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez vaste et le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) fait assez l'affaire car donne toutes les définitions et propriétés de base ! Bien qu'il s'agisse d'une leçon d'algèbre il peut être bien de parler des applications du déterminant en analyse.
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Analyse
, Gourdon
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Fichier :
150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon en donnant des résultats de deuxième année (polynôme caractéristique/minimal et réduction d'endomorphismes) et des applications comme le calcul d'inverse, de puissance ou d'exponentielle d'une matrice.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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Fichier :
151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Les endomorphismes cycliques sont importants dans cette leçon et on peut aller jusqu'à la décomposition Frobenius et les résultats théoriques qui suivent si on le désire (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique avec l'algorithme de Smith).
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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152 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
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Leçon :
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Remarque :
C'est une leçon de niveau de deuxième année à priori mais il faut en contreparti être à l'aise dessus. En particulier le critère de co-diagonalisabilité doit être connu et avoir une idée de la démonstration (d'autant plus que ça tombe souvent aux écrits !). La topologie sur les espaces de matrices peut être un bon investissement car les gens en parlent assez peu dans le cadre de l'agrégation et ça permet de se démarquer : l'investissement est donc rentable.
Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème...
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Références :
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153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon paraît facile au premier abord, mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché d'éléments propres" avec les méthodes numériques comme par exemple la méthode de la puissance qui sont indispensables dans cette leçon et qu'il faut connaître un minimum.
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Références :
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157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon se fait (quasiment) uniquement avec le Gourdon d'algèbre et probabilités et le Rombaldi et il suffit d'avancer dans les pages et de se laisser guider. Il faut faire le lien entre les formes bilinéaires/quadratiques et les matrices symétriques et parler également de calcul différentiel avec la recherche d'extrema.
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Références :
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159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est assez difficile car la dualité n'est plus très abordée en CPGE ni à la fac donc il faut se mettre à niveau. Concevoir cette leçon est donc une tâche assez difficile étant donné qu'il faut quasiment découvrir un pan entier d'algèbre et prendre du recul le plus vite possible.
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Oraux X-ENS Algèbre 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Analyse
, Gourdon
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Fichier :
161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon n'est pas la plus évidente à faire... Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe. Il faut également savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en dimension 2 ou 3 à partir d'une matrice (cas vectoriel) ou d'un système (cas affine).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Analyse
, Gourdon
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Géométrie, Audin
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Oraux X-ENS Algèbre 3
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
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Fichier :
162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
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Leçon :
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Remarque :
Si l'on utilise pas le Deschamps de MPSI (ou de première année pour les nouvelles versions) il est difficile de trouver une référence qui en parle de manière complète... Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené et du pivot de Gauss et surtout illustrer par des exemples et applications diverses.
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Références :
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181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon là est très difficile car la convexité dans R^n est peu abordée en CPGE et à la fac et le fait qu'il n'y ait plus "Barycentres" dans l'intitulé de leçon ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire (même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire...). Mes deux développements sont passables mais sans plus car on exploite d'avantage la notion d'isobarycentre et de point extremal pour le second...
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Références :
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190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon peut se faire de bien des manières différentes. Personnellement, j'ai choisi d'insister sur lalgèbre et plus particulièrement sur la théorie des groupes parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut parler de probabilités par exemples (les applications ne manquent pas !). En revanche il faut bien s'attendre à avoir des exercices qui nécessitent de faire du dénombrement et donc il faut en faire de temps en temps pour garder en tête des "techniques classiques de dénombrement".
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou
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191 : Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon est très intéressante car elle est immense et elle permet ainsi de vraiment choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. On peut par exemple piocher dans les groupes, la géométrie euclidienne et affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité par exemple ! Autrement dit, il est possible de faire une leçon qui n'a aucun point commun avec la mienne mais qui soit très bien faite !
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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Références :
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Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps
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Géométrie, Audin
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Théorie des groupes (bis), Delcourt
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Cours d'algèbre
, Perrin
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Algèbre et géométrie
, Combes
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Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
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226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
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Leçon :
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Remarque :
Il faut essayer d'illustrer un maximum avec des exemples concrets et des études de suites particulières.
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Références :
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229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité qui sont assez difficiles (c'est souvent une utilisation futée de l'inégalité des pentes)...
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global. Il faut aussi absolument accompagner cette leçon avec des dessins en annexe pour illustrer les différentes situations.
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Références :
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Fichier :
228 : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon repose sur des notions de première année, donc on peut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue, etc.).
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Références :
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253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
La convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation ou l'analyse complexe). Il faut tenter de donner le plus d'applications possibles dans divers domaines et dire où elle intervient.
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Références :
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264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Dans cette leçon il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance, etc.), de formule du transfert, etc. Il faut connaître les propriétés propres aux variables aléatoires discrètes et savoir utiliser les différentes formules et les inégalités (et ne pas oublier les fonctions génératrices !).
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Références :
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Probabilités 1
, Ouvrard
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Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps
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Algèbre et probabilités, Gourdon
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
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Carnet de voyage en Analystan, Caldero
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ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas
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266 : Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.
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Leçon :
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Remarque :
Pour cette leçon il faut centrer les résultats sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les applications de l'indépendance : il faut donc en mettre le plus possible et dans des domaines variés si possible. Les vecteurs gaussiens ne sont pas obligatoires mais font une bonne application.
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Références :
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