L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Isenmann, Pecatte

Utilisée dans les 47 développements suivants :

Surjectivité de l'exponentielle matricielle
Équation de la chaleur sur le cercle
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)
Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)
Décomposition polaire
L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Théorème des lacunes d'Hadamard
Algorithme de Berlekamp
SO₃(R) et les quaternions
Enveloppe convexe de On(R)
Optimisation dans un Hilbert
Théorème de Fourier-Plancherel
Théorème de Burnside
Méthode de Monte-Carlo
Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Méthode de Newton
Théorème de Frobenius-Zolotarev
Ellipsoïde de John Loewner
Théorème de Bézout faible (par le résultant)
Partition d'un entier en parts fixées
Automorphismes de Sn
Théorème de Lax-Milgram et une application
Développement asymptotique de la série harmonique
Équation de Sylvester : AX + BX = C
Décompostion de Bruhat et drapeaux
Suite de polygones
Classification des groupes d'ordre p^2
Condition de parité de Gale
Equation de Pell-Fermat
Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis
Compteurs probabilistiques
Approximation polynomiale et matrices de Hilbert
Règles de Bioche
Suites récurrentes linéaires : théorie et pratique
Idempotents et fonctions puissances de l'anneau Z/nZ
Dunford pour le calcul de rayon spectral
Décomposition des groupes abéliens finis
Générateurs de O(E) et SO(E)
Isométries du cube
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Décomposition de Bruhat
L'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Théorème de Fourier-Plancherel (via les espaces de Schwarz)
Théorème de Liapounov par les formes quadratiques
Centre d’un p-groupe

Utilisée dans les 50 leçons suivantes :

101 (2024) Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102 (2024) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.
103 (2024) Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104 (2024) Groupes finis. Exemples et applications.
105 (2024) Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106 (2024) Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
108 (2024) Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
120 (2024) Anneaux Z/nZ. Applications.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.
122 (2024) Anneaux principaux. Exemples et applications.
123 (2024) Corps finis. Applications.
125 (2024) Extensions de corps. Exemples et applications.
141 (2024) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
142 (2024) PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
153 (2024) Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
148 (2024) Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
150 (2024) Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
151 (2024) Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
152 (2024) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.
156 (2024) Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
158 (2024) Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
161 (2024) Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.
171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
181 (2024) Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
191 (2024) Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
213 (2024) Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
221 (2024) Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
223 (2024) Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
226 (2024) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
228 (2024) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
230 (2024) Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
234 (2024) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
236 (2024) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
241 (2024) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
246 (2024) Séries de Fourier. Exemples et applications.
250 (2024) Transformation de Fourier. Applications.
157 (2024) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
154 (2024) Exemples de décompositions de matrices. Applications.
190 (2024) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Utilisée dans les 63 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement classique faisant intervenir le déterminant de Vandermonde. Ici, on montre un lemme caractérisant les endomorphismes nilpotents sur C puis on montre le théorème.

    Résultats bonus:
    1. Déterminant de Vandermonde (par deux méthodes)
    2. Soit G sous-groupe de GL_n(C) et p=dim(Vect(G)), alors il existe une base (M_1;...;M_p) de Vect(G) telle que les M_i soient dans G.

    Développement n°25 sur 28.
    Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 61 versions de leçons suivantes :