Oraux X-ENS Analyse 2

Francinou, Gianella, Nicolas

Utilisée dans les 12 développements suivants :

Formule sommatoire de Poisson
Partition d'un entier en parts fixées
Critère de Weyl
Théorème de Fejer
Théorème de Helly
Série génératrice des nombres de Bernoulli
Fonction caractéristique C1 sans moment
Expression des zeta(2k)
Les Théorèmes de Dini et application
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Théorème de Korovkin
Une somme de série par les séries entières

Utilisée dans les 17 leçons suivantes :

223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
126 (2023) Exemples d’équations en arithmétique.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
190 (2025) Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
245 (2025) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
213 (2025) Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

Utilisée dans les 27 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 223, 209, 246.

    Le critère de Weyl est un très joli résultat autour de l'équirépartition d'une suite modulo 1, qui utilise des séries de Fourier, le théorème de Weierstrass trigonométrique, l'approximation d'une fonction indicatrice d'intervalle par des fonctions continues, ou la construction de l'intégrale de Riemann !
    Attention, l'énoncé dans Oraux X-ENS est faux (ne pas prendre k dans N* mais dans Z*).

    Je propose ici une preuve et un énoncé légèrement modifiés pour éviter les élucubrations autour de l'approximation d'une fonction non-périodique par le théorème de Weierstrass trigonométrique, que FGN balaie d'un revers de main. Cela induit des modifications par rapport à Oraux X-ENS, mais qui se comprennent facilement.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    X-ENS Analyse 2 page 125.

    Il faut savoir ce qui se passe sur ]a;b[ et sur un intervalle I non borné.

    On peut trouver un prolongement à ce développement dans le Gourdon Analyse page 231: à quelle condition les polynômes de la suite convergeant vers la fonction continue f sont-ils à coefficients entiers? (réponse: il faut et il suffit que f(0) et f(1) soient des entiers)

    Application classique: que dire d'une fonction f continue sur [0;1] telle que pour tout entier n, l'intégrale sur [0;1] de t^n*f(t) est nulle ? (réponse: f est identiquement nulle)
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
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Utilisée dans les 40 versions de leçons suivantes :