(2024 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l'ordre de multiplicité d'une racine (définition algébrique et analytique, quand c'est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en oeuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. Il est pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d'Alembert- Gauss. On peut faire apparaître le lien entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les candidates et candidats peuvent également s'intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes de Descartes et de Sturm. L'étude des propriétés des nombres algébriques ont leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. Les candidates et candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin ou au calcul effectif d'expressions polynomiales symétriques des racines d'un polynôme. Il ne s'agit par contre en aucun cas d'adapter le plan de la leçon 141 : l'irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l'élément central de la leçon.
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
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J'ai présenté dans une première partie les définitions de multiplicité algébrique et analytique, en mentionnant leur équivalence, puis la définition des fonctions symétriques élémentaires et relation coefficient-racine, et enfin mon premier développement, les formes de Hankel. J'ai ensuite parlé d'extension algébrique de corps avec le Perrin, puis de nombres constructibles avec mon deuxième développement.
Le jury a choisi les formes de Hankel, et ne m'a jamais parlé de nombres constructibles..
Les questions qui m'ont été posées :
- Pourquoi la multiplicité analytique et égale à la multiplicité algébrique? (je me suis peut-être un peu embourbée dans ma démonstration, alors qu'il y avait plus simple), ils m'ont fait remarquer qu'il fallait un corps de caractéristique nulle pour que ma démo marche.
- Quelle est la forme de Hankel du polynôme $X^3-aX^2 + bX -c$, en supposant connues les sommes de Newton? J'ai juste écrit la définition de la forme quadratique de l'énoncé sans aller plus loin, à mon avis, il voulait savoir si j'allais oublier les facteurs 2 ou non.
- $X^n - X+1$ est-il scindé à racines simples? calculer $\sum_{\omega~racine} \frac 1\omega$
- Pouquoi un corps fini n'est jamais algébriquement clos?
- Soit $P \in \mathbb Z[X]$ tel que $P(0) \neq 0$ et $(*) : P(\omega) = 0 \implies |\omega| \leq 1$
1) trouver $A \in \mathcal M_n(\mathbb Z) | \chi_A = P$
2) MQ il n'existe qu'un nombre fini de $P \in \mathbb Z[X]$ vérifiant $(*)$
3) conclure que les $\omega$ sont des racines de l'unité (pas fini, mais on n'était plus très loin)
- Soit $x = (x_1,...,x_n) , y= (y_1,...,y_n) \in \mathbb C^n$ tels que, pour tout polynôme symétrique $P, P(x) = P(y)$. Montrer que $x$ et $y$ sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe symétrique sur les n-uplets.
Ils m'ont pas mal apporté d'aide au cours de l'entretien, sans pour autant que je sois passive. J'ai su réagir à chaque indice. J'ai d'ailleurs trivialisé la dernière question en un rien de temps, alors que la personne qui m'a posé la question avait peur qu'on n'ait pas le temps de finir, ce qui a eu l'air de beaucoup impressionner un autre membre du jury.
Je me suis sentie très à l'aise durant cet oral, ce qui m'a beaucoup surprise, parce que tout au long de l'année, j'ai toujours eu un peu de mal à être à confiante à l'oral.
15.25
144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
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Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie
Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie "fonctions symétriques élémentaires" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien.
Questions :
- pourquoi parle-t-on de fonctions "symétriques"?
- résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) )
- trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente
- f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire
Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.
Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!)
Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter
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On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose !
Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2.
On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup.
Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan.
Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...
Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.
Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise.
J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!
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