Développement : Forme normale de Smith

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbf{A}$ anneau euclidien, $\delta$ un stathme sur $\mathbf{A}$, $m,n\in\mathbf{N}^*$ et $M\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{A})$.
Alors: $\exists P,Q\in GL_m(\mathbf{A})\times GL_n(\mathbf{A})$ telles que:

\[
PMQ =
\begin{bmatrix}
f_{1} & & & & &\\
& \ddots & & & & \\
& & f_{r} & & & \\
& & & 0 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & 0
\end{bmatrix}
\]

avec $f_1;...;f_r\in\mathbf{A}$ tels que: $f_1|...|f_r$ uniques modulo les inversibles de $\mathbf{A}$.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 56 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 115 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 215 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 30 versions au total)