Développement : Théorème de Brauer

Détails/Enoncé :

Soient $K$ un corps et $n$ un entier. On note $P_\sigma$ la matrice associée à la permutation $\sigma$ de $\mathfrak{S}_n$. Soient $\sigma$ et $\sigma' \in \mathfrak{S}_n$. Alors $\sigma $ et $\sigma'$ sont conjugués si et seulement si $P_\sigma$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables dans $M_n(K)$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Je n'ai pas trouvé de références intéressante sur le sujet. Néanmoins, le développement n'est pas trop dur, donc ce n'est pas très grave.
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    Recasages : 105,106,101,108

    Développement très sympa, permet de parler des matrices de permutations (une application est l'existence dans le théorème de Sylow)
    Il y a une partie de la démo dans le Beck qui touche pas d'herbe : il faut penser à utiliser l'unicité de la décomposition en produit de polynômes irréductibles, et l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Q[X].

    Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/fffe793f-5951-4166-a899-d2ee9b4d7bfc/Theoreme_de_Brauer.pdf?id=7cbf3bee-8e32-40cb-8c5b-55d9c729d629&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689883200000&signature=2aVbSv0pkXJpNdWJyvF3lkqWNVCV4zIkHsX7jWgn-Mw&downloadName=Théorème+de+Brauer.pdf

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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    On montre la caractérisation des classes de conjugaison dans $S_n$, puis on l'applique pour démontrer le théorème de Brauer.

    C'est une version qui fait intervenir une égalité entre deux polynômes caractéristiques et une étude de multiplicité des racines pour aboutir à la conclusion. On fait plus que toucher de l'herbe, on se roule dedans.

    N'allez pas trop vite lors de l'oral, sinon le développement risque d'être trop court !

    Le Fresnel-Matignon fait dans le même exercice la démonstration du théorème de Brauer dans le cas $\mathbb K$ de caractéristique quelconque, et on peut voir que c'est beaucoup BEAUCOUP plus dur.
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    Un développement vraiment cool qui fait le lien entre de l'algèbre linéaire et de l'arithmétique.

    La version que j'ai démontre le résultat en caractéristique quelconque. A ce propos, bien faire attention à un truc : On a besoin d'être en caractéristique nulle pour que D soit inversible MAIS on s'en sert uniquement pour montrer l'équivalence entre les mi(sigma) et les cj(sigma). Donc la démonstration fonctionne bien en caractéristique quelconque pour le corps sur lequel on considère les matrices de permutation.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre et géométrie, Fresnel, Matignon (utilisée dans 4 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)