Analyse pour l'agrégation

Queffelec, Zuily

Utilisée dans les 34 développements suivants :

Équation de la chaleur sur le cercle
Enveloppe convexe de On(R)
Densité des fonctions tests dans Lp
Théorème d'Hadamard Levy
Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
Formule sommatoire de Poisson
Inégalité isopérimétrique
Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
Équation différentielle dans les espaces de Hölder
Densité des fonctions continues nulles part dérivables
Théorème central limite
Equation de Hill-Mathieu
Nombre de zéros d'une équation différentielle
Théorème de Montel
Théorème de Fejer
Méthode de la phase stationnaire
Théorème de prolongement de Tietze
Equation de la chaleur dans une barre
Théorème de Lévy et TCL
Transformée de Fourier d'une gaussienne
Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
Convergence des séries de Dirichlet
Prolongement fonction Gamma d'Euler (+formule de Weierstrass)
Description géométrique des normes
Nombres normaux
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
Développement en série entière de la solution de y''+py'+qy=0
Théorème d'Hadamard Lévy par le flot
Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss
Une classe de séries lacunaires sans dérivées
Paul-Lévy, TCL et applications

Utilisée dans les 33 leçons suivantes :

239 (2024) Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
218 (2024) Formules de Taylor. Exemples et applications.
223 (2024) Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
201 (2024) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
228 (2024) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
230 (2024) Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
121 (2024) Nombres premiers. Applications.
203 (2024) Utilisation de la notion de compacité.
209 (2024) Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
246 (2024) Séries de Fourier. Exemples et applications.
213 (2024) Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.
245 (2024) Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
250 (2024) Transformation de Fourier. Applications.
208 (2024) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
243 (2024) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
241 (2024) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
236 (2024) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.
221 (2024) Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
155 (2024) Exponentielle de matrices. Applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
214 (2024) Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
234 (2024) Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 (2024) Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
261 (2024) Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
206 (2024) Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Utilisée dans les 71 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181.

    Ma version est une version "minimale" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer.
    Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 209, 222, 241 et 246.

    Ma référence est le livre de M. Zuily et Queffélec, mais bien prendre une barre de longueur $\pi$ et pas L, c'est vraiment beaucoup trop pénible sinon et on perd beaucoup de temps.

    Développement très long et difficile à faire tenir en 15 mins et qui demande quelques répétitions. Admettre dans tous les cas le 2)b/ du document (dire à l'oral que ça ne marche pas).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 220 et 221.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Recasages : 203,204,214,215,220

    J'ai fini par faire une preuve maison adaptée du ZQ utilisant les fonctions de Liapounov ; tous les théorèmes utilisés sont cités et démontrés dans le fichier, mais sinon je crois que pendant mon oral de modé j'ai trouvé des trucs là dessus dans le Hubbard-West. La preuve du ZQ (pas la nouvelle édition) a beaucoup de soucis, apparemment c'est plus simple dans le Bernis, mais je m'y suis attachée, donc bon. Si on ne passe pas par les fonctions de Liapounov, faire des dessins pour la stabilité asymptotique.

    Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

    Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve !

    PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !
  • Références :
  • Fichier :

Utilisée dans les 95 versions de leçons suivantes :