(2022 : 151 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de présenter les résultats fondateurs de la théorie des espaces
vectoriels de dimension nie en ayant une idée de leurs preuves. Ces théorèmes semblent simples car
ils ont été très souvent pratiqués, mais leur preuve demande un soin particulier. Il est important de
savoir justifier pourquoi un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est aussi de
dimension finie.
On peut montrer, sur des exemples, comment la dimension nie intervient dans la démonstration de
certains résultats (récurrence sur la dimension, égalité de sous-espaces par inclusion et égalité des dimensions, isomorphisme par injectivité et dimension, etc.). À cette occasion, on pourra signaler des
résultats qui ne subsistent pas en dimension infinie. Le pivot de Gauss ainsi que les diverses notions
et caractérisations du rang trouvent leur place dans cette leçon. Les applications sont nombreuses :
existence de polynômes annulateurs, dimension de l'espace des formes n-linéaires alternées en dimension n, isomorphisme avec le dual dans le cadre euclidien et théorème de Riesz, espaces de solutions
d'équations différentielles ordinaires, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, décomposition d'isométries en produits de réflexions, dimensions des représentations irréductibles d'un groupe
fini, théorie des corps finis, etc.
Les caractérisations du rang peuvent aussi être utilisées pour démontrer l'invariance du rang par extension de corps, ou pour établir des propriétés topologiques (sur R ou C). S'ils le désirent, les candidats
peuvent déterminer des degrés d'extensions dans la théorie des corps ou s'intéresser aux nombres algébriques. Il est également possible d'explorer des applications en analyse comme les extrémas liés.
Dans un autre registre, il est pertinent d'évoquer la méthode des moindres carrés dans cette leçon,
par exemple en faisant ressortir la condition de rang maximal pour garantir l'unicité de la solution et
s'orienter vers les techniques de décomposition en valeurs singulières pour le cas général. On peut alors
naturellement analyser l'approximation d'une matrice par une suite de matrices de faible rang.
102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques questions sur le développement pour commencer, notamment pour justifier l'invariance du rang/de la dimension de l'espace des solutions par extension de corps. Quelques questions sur le plan pas très difficiles.
Premier exo: soit $f: \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R}$ multiplicative et telle que $f(0)=0$ et $f(I_n)=1$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f(A) \neq 0$.
Deuxième exo: si $E$ est un $\mathbf{R}-$ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$, que dire de la dimension de $\{ u \in \mathcal{L}(E) : F \subset Ker(u) \}$ ?
Jury très sympathique, ils m'ont mis très à l'aise et j'ai senti qu'ils m'ont tiré vers le haut en dynamisant beaucoup l'échange.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.