Leçon 229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

(2023) 229
(2025) 229

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) Dans cette leçon, les définitions et premiers exemples de référence sont incontournables. Lorsque des " règles " de convergence sont présentées, celles-ci doivent être illustrées d'exemples consistants. Le sujet ne se limite pas à la seule étude de la convergence d'une série, l'estimation des sommes partielles ou des restes (où la technique de comparaison entre somme et intégrale, en présence ou non de monotonie, est particulièrement efficace), et ses conséquences (comme l'étude asymptotique de certaines suites récurrentes) font partie intégrante du sujet. L'utilisation de séries entières ou de séries de Fourier pour calculer la somme de certaines séries, le calcul de l'espérance d'une variable aléatoire discrète fournissent également de riches thèmes d'étude. Les candidates et candidats solides peuvent s'intéresser à quelques procédés de sommation des séries divergentes (qui interviennent naturellement dans la théorie des séries de Fourier, entre autres) ainsi qu'aux théorèmes taubériens qui s'y rapportent.

(2022 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) L'existence de limite à droite et à gauche pour les fonctions monotones ainsi que la régularité des fonctions convexes doivent bien sûr être abordées. La convexité est évidemment également une source inépuisable d'inégalités, dans divers domaines y compris les probabilités. Si la monotonie concerne les fonctions réelles d'une seule variable réelle, la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$. La recherche de leurs extrema constitue un riche thème d'étude. Une autre piste est l'étude et l'utilisation des fonctions de répartition en probabilités. Les candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones, ou à la continuité, voire la différentiabilité, des fonctions convexes dénies sur un ouvert convexe de $R^n$.
(2019 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\textbf{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. $\\$ L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $\|Ax-b\|^2$ illustrent agréablement cette leçon. $\\$ Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
(2017 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $||Ax-b||^2$ pourront illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
(2016 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications. ) L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
(2015 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) Les propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle sont attendues. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\mathbb{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. Pour les candidats solides, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.
(2014 : 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.) Les candidats sont invités à réfléchir à l'incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Plan classique donc plutôt simple à apprendre.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
    L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
    Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
    Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
    J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2020 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pour moi une des leçons, si ce n'est la plus risquée à cause des fonctions monotones dont on n'entend plus parler depuis la sup...

    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2018 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2017 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


2016 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Point de Fermat d'un triangle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur mon développement (préciser le calcul du gradient de f, pourquoi l'application norme est convexe)
    Puis des exercices (que peut on dire d'une fonction convexe bornée, la fonction x -> 1/2- est elle convexe ? Strictement convexe ? Si oui et sil il existe calculer son point extremum)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    tres souriants, encourageants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé mieux que je ne pensais grâce au jury qui m'a mise en confiance.

  • Note obtenue :

    15.75


2019 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Donner un exemple de fonction convexe sur [0,1] mais discontinue en 0.
    - Comment caractériser une fonction convexe avec son épigraphe ?
    - Si une suite de fonctions convexe converge simplement vers une fonction continue, déjà pourquoi est-ce que la limite est convexe ? Et pouvez-vous montrer que la convergence est uniforme sur tout compact ?
    - Une fonction monotone a-t-elle des limites à gauche et à droite ? Pourquoi ?
    - Pourquoi est-ce qu'une fonction convexe a un nombre au plus dénombrable de points de discontinuités ?
    - Pouvez-vous nous parler de la fonction $\Gamma$ ?
    - Montrer que l'ensemble des matrices réelles symétriques positives est convexe, et que la fonction associant à une matrice sa plus grande valeur propre est convexe.
    - Donner la différentielle de $X \mapsto (MX|X)$

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt bienveillant et posant beaucoup de questions !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Attention lorsque l'on prépare son plan, à ne pas oublier d'y recaser les deux développements !

  • Note obtenue :

    14.75


2016 : Leçon 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Inégalité de Hoeffding

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement : des hypothèses que je n'avais pas précisées, quel type de convergence on a pour $S_n$ (convergence p.s.), cette convergence peut-elle être obtenue avec la loi forte des grands nombres, et même "A quoi sert votre développement ?" (j'ai comparé avec Bienaymé-Tchebytchev et parlé d'intervalle de confiance).

    - L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est dénombrable. Quid de l'ensemble des points de non-dérivabilité ?
    Je n'avais aucune idée de la réponse, j'ai parlé de la fonction continue partout dérivable nulle part, en me disant que ça pouvait laisser penser que c'était plus délicat. (En fait il semblerait qu'elle soit dérivable presque partout)

    - $f$ dérivable est croissante ssi $f' >0$. Une condition plus faible ? (Heuu...) Est-ce qu'on peut remplacer dérivable par dérivable à droite et dérivée à droite positive ? En fait, elle est localement croissante à droite, du coup OK.

    - Existe-t-il une inégalité de convexité avec plus de 2 éléments ? (je l'avais oublié dans le plan...) Quelles sont les hypothèses et la preuve ? J'ai d'abord dis par associativité c'est facile, ça suffisait au jury sauf à la personne qui a posé la question, du coup on isole $\lambda_1 x_1$, on factorise artificiellement par $(1 - \lambda_1)$ l'autre terme (on évacue le cas où ça vaut zéro avant) puis récurrence. Elle m'a demandé plusieurs fois si j'étais sur, ce qui m'a un peu déstabilisé, alors que c'était bon.

    - Exercice : démontrer le théorème de Dini (toute suite de fonctions croissantes définies sur un segment convergeant vers $f$ continue converge en fait uniformément). Je ne me souvenais plus de la preuve, je dis qu'utiliser Heine pouvait être intéressant, je tente quelques trucs. Pas le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    La dame qui m'a acceuilli dans la salle a été un peu pénible pendant l'oral, elle me demandait sans cesse les hypothèses et semblait agacée (ça se comprend car souvent j'en oubliais ou je ne savais pas, par exemple la LGN) (Remarque : à la vue de la note, ils étaient effectivement agacés). Les deux autres membres du jruy étaient plutôt bienveillants et me laissaient réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tableau grand à feutres, la préparation ne dure pas trois heures le premier jour, car il faut le temps de comprendre l'organisation et de se repérer, du coup il faut se préparer à ce genre de trucs.

  • Note obtenue :

    10.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 88 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3, Ramis, Deschamps, Odoux (utilisée dans 14 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)
Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès (utilisée dans 107 versions au total)
Calcul Intégral , Faraut (utilisée dans 33 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 17 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 36 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 89 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 7 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 45 versions au total)
Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques, Rombaldi (utilisée dans 14 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 36 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 78 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 47 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre (utilisée dans 15 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 64 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 47 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)
Cours de mathématiques, Tome 2 : Analyse, Arnaudiès, Fraysse (utilisée dans 3 versions au total)
Optimisation et analyse convexe, Hiriart-Urruty (utilisée dans 2 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)