(2022 : 201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.)
Sans sortir du programme, le candidat dispose d'au moins deux thèmes très riches pour nourrir son plan : espaces de fonctions continues sur un compact, espaces $L^p$ sur le cercle ou sur la droite réelle. Sur le premier sujet, le jury attend des candidats une bonne familiarité avec la convergence uniforme et son utilisation pour justifier des régularités. Le théorème de Stone-Weierstrass est évidemment incontournable, dans ses différentes versions, constructives ou non. La complétude peut également être exploitée, par exemple en lien avec les équations différentielles ou intégrales.
Sur le second, la convolution et ses applications, ainsi que l'analyse de Fourier fournissent un large terrain d'exploration.
Plusieurs prolongements s'offrent aux candidats solides : théorème de Baire et ses innombrables applications, espaces de fonctions holomorphes (théorème de Montel et ses applications, espaces de Hardy, etc.), espaces de fonctions régulières (fonctions lipschitziennes, $C^k$, classe de Schwartz), algèbres de Banach de fonctions (algèbre de convolution $L^1(R)$, algèbre du disque, algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, etc.), étude des parties compactes de $C(K)$ (K compact) voire de $L^p$.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement : quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis
Q : Comment retrouver ce résultat dès qu'on a un contre-exemple ?
R : Sur [0,1], si on a un contre-exemple g qui est continue nulle part dérivable et f une fonction continue sur [0,1], j'ai commencé par considérer f_n(x) = f(x) + g(x)/n, mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas forcément nulle part dérivable, donc c'est sûrement pas ça qu'il faut considérer.
Q : A quelles conditions sur la fonction f est ce que les fonctions f_n sont nulle part dérivables ?
R : Si la fonction f est dérivable par exemple. (petit moment de réflexion) Ah on peut penser au théorème de Weierstrass en approximant f par des fonctions polynômes qui sont régulières.
Q : Comment se démontre le théorème de Weierstrass ?
R : j'ai expliqué la preuve par la convolution
Mon plan était en 3 parties :
I - Espaces de fonctions continues
II - Espaces L^p
III - Espaces de fonctions holomorphes
Questions sur le plan :
Q : Sur les espaces L^p, si l'ensemble est de mesure finie, on a une inclusion (L^p inclus dans L^q si q
Jury composé de deux femmes et un homme, c'est l'homme qui posait la plupart des questions et qui était le plus encourageant. J'avais l'impression que le jury ne comprenait pas très bien le développement, comme si c'était la première fois qu'ils le voyaient, ils ont d'ailleurs mis beaucoup de temps pour choisir le développement et prenaient beaucoup de notes.
A part le développement où j'ai dépassé les 15min (j'ai duré 16min), l'oral s'est passé comme je l'imaginais. Des questions classiques mais permettant de mettre en valeur mes connaissances. J'ai fait quasiment le même plan que celui que j'avais préparé pendant l'année (j'ai mis mon plan sur le site), avec 70 items à peu près.
18.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Question sur le développement : "Comment expliquer le théorème de transfert à des lycéens?" "Quel est la limite d'une suite de polynômes?"
Question sur le plan : théorème de convergence monotone "pas bon" (confusion entre intégrable vs mesurable , cf Marco) et donc ils m'ont aidé à construire un contre-exemple
Question : Est-ce que L1 muni de la norme infini est complet ? pourquoi ?
Nous aide à répondre aux questions, pousse à répondre et ne pas abandonner.
Non, j'ai été déstabilisé. Je suis sortie de l'oral assez déçue, notamment à cause du tirage (j'avais eu Suite récurrente l'année précédente)
10.75