Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

El Amrani

Utilisée dans les 5 développements suivants :

Construction de l'exponentielle et de Pi
Théorème de Weierstrass (par les probabilités)
Théorème de Fejer
Règle de Raabe-Duhamel, exemples
Heine + Weierstrass (avec Bernstein)

Utilisée dans les 19 leçons suivantes :

102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
230 (2025) Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
246 (2025) Séries de Fourier. Exemples et applications.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.

Utilisée dans les 6 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 101 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'ai fait cette leçon en tout début d'année, juste après la 241. Je pense qu'il y a à peu près tout ce qui doit s'y trouver, on peut rajouter des choses sur l'analyticité mais il ne faut pas trop en mettre car il y a une leçon consacrée à cela : la 245.

    /!\ Le DEV 2 : Nombres de Bell rentre très bien dans cette leçon, mais à la fin de l'année, je l'avais remplacé par le théorème de Runge que j'aurais mis dans II-2) par exemple.

    Je suis resté sur des choses assez basiques pour cette leçon, on peut sûrement trouver des résultats plus sophistiqués si on est très à l'aise, notamment des critères pour qu'une fonction soit développable en série entière, ou sur les singularités d'une fonction holomorphe et le rayon maximal des séries entières...

    Il faut bien savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière en utilisant l'une des formules (D'Alembert, Cauchy-Hadamard...) et il faut bien savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas...
    Il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières, c'est le genre de sujets où on peut en dire facilement. Je conseillerais de bien lire tout le chapitre du El Amrani là-dessus.
  • Références :
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  • Leçon :
  • Remarque :
    C'était mon premier plan de leçon de l'année, donc il y a sûrement des choses à revoir. C'est en tout cas une leçon assez classique, qui se fait bien.
    Le développement sur les nombres de Bell n'est peut être pas le plus adapté à cette leçon (voir hors sujet) car ce n'est pas à proprement parler une série numérique. Il faut le remplacer, par exemple par la règle de Raabe-Duhamel et une application.
    Si j'étais tombé dessus le jour J, j'aurais enlevé la partie sur les séries de Fourier (pas assez à l'aise dessus), que l'on peut remplacer par une partie sur l'espérance de variables aléatoires discrètes par exemple.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
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  • Remarque :
    Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Mon professeur n'a pas fait de remarque particulière sur le plan.
    En licence je n'étais pas très à l'aise avec les équa diffs, pour moi c'était un truc de physicien. Mais en les bossant pour les écrits, je suis évidemment tombé sur le Berthelin qui m'a tout clarifié. Pour cette leçon, ce livre suffit, la progression est logique et il y a beaucoup d'exemples. De plus il y a de nombreuses remarques qui permettent de bien comprendre ce que l'on fait.
    Au départ dans ma partie II) j'avais mis une sous-partie sur les équa diff linéaires d'ordre $n$ scalaires à coefficients constants, mais finalement je trouvais que cela faisait une leçon trop longue et que les notations étaient trop lourdes, à vous de voir ce qui vous plaît.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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  • Remarque :
    Leçon pas compliquée à faire, il suffit de suivre le El Amrani. En revanche, je pense qu'il faut faire pas mal d'exercices pour cette leçon car ce sont des notions qui sont de niveau L1-L2 et donc on n'a plus forcément les bons réflexes.
    Au départ mon 2e développement était sur les valeurs d'adhérence d'une certaine suite, mais je l'ai vite abandonné car je le trouvais trop compliqué. J'aurais donc fait le développement sur le théorème de point fixe, en le mettant dans la partie sur les suites de Cauchy.

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
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