Cours d'analyse

Pommelet

Utilisée dans les 4 développements suivants :

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Fonction C infini non triviale telle que f(x)^x = x^f(x)
Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Utilisée dans les 23 leçons suivantes :

207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
243 (2025) Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
201 (2025) Espaces de fonctions. Exemples et applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
203 (2025) Utilisation de la notion de compacité.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
102 (2025) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
222 (2022) Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

Utilisée dans les 4 versions de développements suivants :


Utilisée dans les 43 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
    Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
    Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
    Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
    Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !
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