Utilisée dans les 36 versions de développements suivants :
Géodésiques du demi plan de Poincarré
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Développement :
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Référence :
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Théorème du relèvement
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Développement :
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Chemin optique et calcul des variations
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Développement :
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Chemin au dessus d'une courbe concave
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Développement :
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Référence :
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Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Référence :
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Équation de la chaleur sur le cercle
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Étude qualitative de x' = x^2 - t
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Développement :
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Remarque :
Page 225
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Référence :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Remarque :
On montre également que si $f_0$ est la solution valant 1 en 0; et $f$ une autre solution sur un intervalle $]0,a[$, alors $(f,f_0)$ est libre si et seulement si $f$ n'est pas bornée au voisinage de $0$.
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Référence :
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Fichier :
Équation de la chaleur sur le cercle
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Développement :
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Références :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
Système de Lotka Volterra
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Résolution de l'équation fonctionnelle $f' = f^{-1}$
Stabilité système à coefficients constants
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Développement :
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Remarque :
Giabella 4 p 170 ??
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Référence :
Système proie-prédateur
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Développement :
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Référence :
Système de Lotka Volterra
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Remarque :
Recasages : 243,221,220,239
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
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Référence :
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Fichier :
Système de Lotka Volterra
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Développement :
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Remarque :
Développement long. J'ai écrit beaucoup de détail pour que le lecteur comprenne bien ce qu'il se passe, mais il y a des moment où on peut se passer d'écrire (comme le calcul de $\frac{d}{dt}H$ ou les arguments à la fin). Je conseille de faire quelques dessins, et de ne pas hésiter à les manipuler.
Je me suis un peu éloignée de ce qui est fait dans le FGN, notamment au moment de prouver que $I=\mathbb R$, car c'est trop long dans le FGN alors qu'une autre preuve tient en trois mots dès qu'on a le caractère borné de la solution maximale : lemme des bouts.
Dans tout le développement, il y a deux arguments de monotonie (monotone borné donc convergeant et monotone donc injectif), cela me semble un peu léger pour justifier les 5 étoiles dans la leçon 229.
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Référence :
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Fichier :
Minimisation d'une fonctionnelle quadratique
Théorème de Sturm
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Développement :
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Remarque :
Je démontre un énoncé un peu plus général que ce qui est fait dans le FGN qui coute pas beaucoup plus cher. Il y a énormément d'explications dans mon pdf, mais c'est pour que le lecteur comprenne ce qu'il se passe, n'écrivez pas tout au tableau devant le jury !
La répartition du temps est facile à retenir : le développement est découpé en trois résultats, vous pouvez passer à peu près cinq minutes sur chacun d'entre eux.
Ce développement peut aussi apparaître dans la leçon 228 : continuité, dérivabilité, en tant qu'application du TVI.
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Référence :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Équation de la chaleur sur le cercle
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
Attention à bien regarder ce qu'on démontre, il y a plusieurs type d'énoncé plus ou moins forts. Peut-être plus simple pour ceux qui ont fait option B.
Je le mets dans 219, 229, 253.
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Référence :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Référence :
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Fichier :
Equation de la chaleur
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Développement :
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Remarque :
Ce développement demande de bien le travailler pour savoir très bien justifier chaque interversion, chaque étape. Il est aussi très très long, au début je ne faisais que la partie Analyse (c'est suffisant je pense), et puis avec le temps et l'entraînement, j'arrivais à faire tenir aussi la Synthèse dans les 15 minutes.
J'ai parfois rajouté des remarques qui ne sont pas dans la référence pour justifier les interversions. Il faut aussi bien savoir justifier pourquoi on a le droit d'écrire "$f$ égale à sa série de Fourier".
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Référence :
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Fichier :
Equation de Bessel
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Développement :
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Remarque :
Ce développement est efficace car se recase bien dans les 2 leçons d'équa diff et n'est pas difficile. Il donne même une jolie application du Wronskien !
Je n'avais pas le temps de faire la récurrence dans les 15 minutes, et même sans la faire, il faut se dépêcher un peu pour faire tout tenir.
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Référence :
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Fichier :
Zéros de la fonction de Bessel
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Développement :
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Remarque :
Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales.
En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;)
Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier).
Côté recasages à mon avis:
EDO linéaires
Exemples d'illustration de la théorie des EDO
Séries entières
Fonctions usuelles et spéciales
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Références :
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Fichier :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
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Référence :
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Fichier :
Algorithme du gradient à pas optimal
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Développement :
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Remarque :
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.
Je mets la version générale (non adaptée pour la leçon 162) et la version du Bernis, appliquée spécifiquement aux systèmes linéaires (adaptée pour la leçon 162).
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Références :
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Fichiers :
Système de Lotka Volterra
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
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Développement :
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Remarque :
Un peu long à mon goût.
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Référence :
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Fichier :
Utilisée dans les 28 versions de leçons suivantes :
243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Mis à jour le 14.05.17
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Références :
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse
, Gourdon
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Cours d'analyse
, Pommelet
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Methodix Analyse, Merlin, Xavier
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Fichier :
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Calcul Intégral
, Faraut
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De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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Analyse
, Gourdon
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily
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Analyse
, Gourdon
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Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire
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Oraux X-ENS Analyse 2
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
220 : Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’étude de solutions en dimension 1 et 2.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
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Leçon :
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Références :
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Cours de mathématiques, topologie et éléments d'analyse Tome 3, Ramis, Deschamps, Odoux
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Analyse
, Gourdon
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Analyse matricielle
, Rombaldi
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Fichier :
253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.
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Leçon :
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Références :
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Fichier :
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue !
Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter "certaines EDP linéaires".
Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1.
Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin.
Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)
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Références :
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Fichier :
220 : Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
221 : Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
250 : Transformation de Fourier. Applications.
235 : Problèmes d'interversion de symboles en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
J'ai voulu mettre beaucoup de choses dans cette leçon, selon les préférences on pourra retirer les probas ou la théorie de Baire mais je pense qu'il faut en mettre l'un des deux au vu du nom de la leçon qui incite à mettre d'autres choses que les théorèmes "classiques" d'interversion.
Comme j'ai dit dans d'autres commentaires, si on met la théorie de Baire, il faut l'avoir travaillée c'est-à-dire avoir une idée des démonstrations, et avoir fait quelques exercices.
Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, le TCD, le TCM, Fatou, Fubini, les théorèmes sur les intégrales à paramètres réels (qui découlent du TCD d'ailleurs), le théorème d'holomorphie sous l'intégrale (plus puissant),... Il faut bien accompagner tous ces théorèmes d'exemples d'application qui se trouvent assez bien dans les bouquins. Pensez aussi à la fonction Gamma, à la transformée de Fourier...
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Références :
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Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani
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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani
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Analyse
, Gourdon
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Analyse. Théorie de l'intégration, Briane, Pagès
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li
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Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch
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Fichier :
246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.
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Références :
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Fichier :
203 : Utilisation de la notion de compacité.
206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Petit guide de calcul différentiel
, Rouvière
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Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas
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Analyse
, Gourdon
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Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré
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Les contre-exemples en mathématiques
, Hauchecorne
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Équations différentielles, Florent Berthelin
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Fichier :
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime pas.
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Références :
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Fichier :
221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
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Leçon :
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Remarque :
Je déteste.
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Références :
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Fichier :
226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
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Leçon :
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Remarque :
J'aime bien.
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Références :
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Fichier :
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.