Leçon 208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Projection sur un convexe fermé

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Voici la proposition de plan faite :
I - Généralités.
A/ Normes équivalentes. [G]
B/ Applications linéaires continues. [G]
II - Le cas de la dimension finie : équivalence des normes.
A/ Théorème d'équivalence des normes. [G]
B/ Les normes matricielles : applications à l'analyse numérique. [ALL]
III - Le cas de la dimension infinie : les espaces de Banach et de Hilbert.
A/ Les espaces de Banach. [G]
B/ Les espaces de Hilbert. [HL]

Au départ, quelques questions sur mon développement :
Q : Pour montrer le théorème de projection sur un convexe fermé vous utilisez le fait que $H$ est complet, peut-on diminuer un peu les hypothèses ?
R : Oui, il suffit de considérer seulement un convexe fermé non vide complet et la preuve marche pareil.

Q : Pouvez-vous détailler que c'est une bijection (L'application $z' \mapsto y + \overline{\lambda}z'$ du Hirsch-Lacombe).
R : Il suffit d'écrire explicitement l'inverse.

Q : Pouvez-vous détailler comment passer de $\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,~\forall z'\in F$, $\text{Re}(\lambda\langle x-y, z\rangle) \geq 0$ à $x-y\in F^\perp$ ?
R : Il faut prendre $\lambda$ dans $\mathbb{R}_*^{+}$ puis $\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie réelle est nulle puis prendre $\lambda$ dans $i\mathbb{R}_*^{+}$ et $i\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie imaginaire est nulle et trouver le résultat.

Ensuite, j'ai eu des questions sur le plan et des exercices :
Q : Montrer que si $F$ est un sev de $H$ hilbert alors $F^\perp$ est fermé.
R : Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F^\perp$ tendant vers $x$. Montrons que $x\in F^\perp$. Soit $y\in F$, $\langle x,y\rangle = \langle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n,y\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x_n,y\rangle = 0$ par continuité de l'application $x\mapsto \langle x,y\rangle$ (Elle est linéaire et par Cauchy-Schwarz 1-Lipschitz) d'où le résultat.

Q : Montrer maintenant que $\overline{F}^\perp = F^\perp$.
R : Comme $F \subset \overline{F}$ on a donc $\overline{F}^\perp \subset F^\perp$, montrons l'inclusion inverse. Soit $x\in F^\perp$ et $y\in\overline{F}$ alors il existe $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers $y$ et alors $\langle x,y\rangle = \langle x,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x,y_n\rangle = 0$ par continuité de $y\mapsto \langle x,y\rangle$ d'où le résultat.

Q : Dans votre plan vous mettez comme corollaire du théorème de Riesz que $\overline{B_{\mathbb{R}[X]}(0,1)}$ n'est pas compacte, pouvez-vous le montrer à la main ? Et pour quelle norme ?
R : Je considère alors la norme infinie pour les polynômes ($||\sum\limits_{i\in I} a_iX^i||_\infty = \max\limits_{i\in I} |a_i|$) et je cherche une suite d'éléments de la boule n'ayant pas de sous-suite convergente. Je prends la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et je suppose qu'il existe une sous-suite convergente, en particulier elle est donc de Cauchy donc en écrivant la définition d'une suite de Cauchy on a une absurdité car : $\forall \epsilon > 0,~\exists n_0\in\mathbb{N},~\forall n,m\geq n_0,~1 = ||X^{\varphi(n)}-X^{\varphi(m)}||_\infty < \epsilon$.

Q : Quel isomorphisme nous permet d'écrire le théorème de représentation de Riesz ?
R : Le fait que $H$ est isomorphe à son dual $H^*$ via $y \mapsto \langle \cdot,y\rangle$.

Q : Et que peut-on dire de ceci pour les Banach en général ?
R : C'est faux.

Q : Et que considère-t-on dans ce cas ?
R : Le bidual.

Q : Comment s'appelle les espaces isomorphes à leur bidual ?
R : Les espaces réflexifs.

Q : Pouvez-vous détailler pourquoi l'exponentielle matricielle est bien définie ? (Je l'avais mis dans le plan)
R : J'utilise une propriété des Banachs, une suite absolument convergente converge donc il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente, je munis $M_n(\mathbb{R})$ d'une norme subordonnée, c'est une norme d'algèbre et donc : $\frac{|||M^n|||}{n!} \leq \frac{|||M|||^n}{n!}$ et la deuxième converge d'où le résultat.

Q : Pouvez-vous détailler pourquoi $P\mapsto P'$ n'est pas continue pour la norme infinie de $\mathbb{R}[X]$ ?
R : Encore une fois considérer la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$, la norme de la dérivée tend vers $+\infty$ alors que sa norme vaut toujours 1 c'est absurde si elle était continue.

Q : Cherchons alors une norme pour la rendre continue.
R : J'ai déjà dit qu'elle était linéaire donc il suffit de trouver une norme pour lequel l'application est de Lispchitz. J'essaie quelques normes sur $\mathbb{R}[X]$ mais cela ne marche pas.

Q : Montrons que la constante de Lipschitz est 1 et considérez alors la norme $N(P) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}} |P^{(k)}(0)|$, pouvez-vous détailler pourquoi est-ce une norme ?
R : Le seul point délicat est l'équivalence $N(P) = 0 \Longleftrightarrow P = 0$, il faut écrire la somme nulle, c'est une somme (finie car c'est un polynôme) de termes positifs nulle, ils sont tous nuls et par la formule de Taylor pour les polynômes on trouve le résultat. Et alors $N(P') \leq N(P)$ d'où la continuité de l'application.

Q : Montrer que les compacts en dimension infinie sont d'intérieur vide.
R : Je réfléchis un peu et un jury me demande alors :

Q : Déjà en dimension finie qu'est-ce que vous pouvez dire ?
R : Je réfléchis jusqu'à considérer une boule fermée qui n'est évidemment pas d'intérieur vide. Je suppose par l'absurde qu'un compact en dimension infinie n'est pas d'intérieur vide, quitte à diminuer la boule on peut supposer qu'il contient une boule fermée. Mais un fermé d'un compact étant compact la boule est compacte mais donc par le théorème de Riesz, l'espace est de dimension finie c'est absurde.

L'oral s'est ensuite fini.

Le jury était très bienveillant et souriant, ils m'aidaient lorsque je ne voyais pas comment faire.

L'oral s'est passé comme je l'avais imaginé, le jury et les appariteurs permettent de faire en sorte de diminuer le plus possible notre stress pendant les épreuves et c'est vraiment très appréciable.

18.25

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Projection sur un convexe fermé

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

J:= Jury. L:= Moi. L'ordre et l'énoncé des questions posées est approximatif. Le retour qui suit rend mal compte de la bienveillance du jury, qui est très souriant et encourageant dans ses questions.

J: Il me semble que vous n'avez pas totalement démontré la caractérisation du projeté que vous énoncez dans votre plan...\\

L: Oh non pardon ! J'ai oublié la réciproque...\\

J: Ce n'est pas grave, vous pouvez nous expliquer rapidement comment vous auriez fait ? \\

L: En développant les égalités de polarisation, et avec les inégalités sur les distances. \\

J: Quelles inégalités ? \\

L: Si $x_C$ est le projeté de $x$ sur $C$, $\forall z \in C, \vert x-z \vert \geq \vert x-c \vert$\\

J: Vous pouvez montrer que, dans un espace de Hilbert, si $F$ est un sev fermé , $F^{\perp}$ est fermé ?\\

L: Oui. C'est la caractérisation séquentielle de la fermeture, et la continuité de x ---> pour tout y
J: D'où vient cette continuité ?\\

L: \emph{Je beugue un peu en parlant d’égalités de polarisation au début mais je finis par trouver : } C’est Cauchy Schwarz qui nous assure que c'est une application lipschitzienne. \\

J: Si $F$ est un sev fermé de H, que dire des orthogonaux successifs de $F$?\\

L: euuuh… les orthogonaux successifs ? \emph{ À ce moment là je pense à des histoires de noyaux itérés, je m'imagine qu'on considère implicitement une suite de sevs}\\

J: Le biorthogonal de F, disons. \\

L: Ah, c’est F lui même. C'est encore une conséquence de la projection sur un convexe fermé. \\

J: Ok, on va passer aux questions sur le plan. Vous pouvez relire votre définition numéro X d'une application contractante ? \\

L: Oh non, désolée, j'ai oublié l'hypothèse la plus importante : evidemment $k<1$...\\

J: Et pour votre exemple Y, la complétude des $L^p$, il y aussi une coquille...\\

L: Euh... c'est pas le bon L ? \\

J: Relisez bien. \\

L: Ah ! C'est $p \in [1, + \infty[$, et surtout pas $ ]0, + \infty[$ ! Pardon ! \\

\emph{Je m'en veux encore de ces erreurs. Une simple relecture du plan à la fin des 3h aurait suffit à les éviter.}\\

J: Vous avez un exemple de normes qui ne sont pas équivalentes en dim infinie? \\

L: Oui, sur $C^0([0,1])$, on considère la norme $\norme{.}_{\infty}$ et la norme $\norme{.}_1.$ Elles ne définissent pas la même topologie car $(C^0([0,1]), \norme{.}_{\infty})$ est complet et $(C^0([0,1]), \norme{.}_{1})$ non. \\

J: Est-ce qu’on a quand même un sens ?\\

L: La norme norme $\norme{.}_1.$ est lipschitzienne par rapport à la norme $\norme{.}_{\infty}$. \\

J: Quelle est la constante? \\

L: \emph{J'ai besoin de l'écrire pour le voir, mais dès que je pose mon feutre sur le tableau, ça devient évident} Elle est 1-Lipschitzienne.\\

J: Vous avez un exemple concret de boule unité qui n’est pas compacte en dimension infinie ? \\

L: Euh bah par Riesz n'importe quel espace normé de dimension infini fonctionne donc par exemple… \emph{Je m'apprête à sortir le premier exemple d'evn de dimension infinie que je connais, mais on m'arrête.}\\

J: Un exemple précis? Disons de sphère unité qui ne soit pas compacte ? Sans utiliser Riesz.\\

L: Je vais prendre l'espace des fonctions continues… Non on va faire plus simple, je prends les polynômes, $\mathbb{R}[X]$… Je ne sais pas si j'essaie de contredir Borel-Lebesgue ou Bolzano-Weierstrass... Je vais essayer Borel-Lebesgue, je cherche un recouvrem-\\

J: On va contredir Bolzano-Weierstrass.\\

L:; Ok, donc je prend la norme sup sur les coefficients, $\norme{\sum a_k X^k}=max(\vert a_k \vert )$. Je cherche une suite de la sphère unité qui n’a pas de valeur d'adhérence dans la sphère unité. \\

J: Quelle est la suite la plus simple que vous puissiez imaginer ? \\

L: La suite des $X^n$. Elle ne peut pas avoir de valeur d’adhérence car si $P$ est un polynôme et de degré $d$ et que $n > d$… \\

J: prenez $P=X^d$\\

L: Si $n \neq d$ alors $\norme{X^n - X^d}=1$\\

J: Maintenant, on va passer aux exercices. On se place toujours dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme sup $\norme{.}$ que vous venez de définir. Soit $a \in \mathbb{R}$, soit l’application linéaire $f_a: P \rightarrow P(a)$ est-elle continue ? \\

\emph{ Au début j'étais persuadée que la réponse était "non" quel que soit le réel $a$. J’ai commencé à chercher une suite de polynômes telle que $\norme{P_n}$ tende vers 0 mais telle que $P_n(a)$ reste constant, sans m'en sortir. Le jury a fini par gentiment me pousser vers le caractère lipschitzien de ma fonction évaluation. En cherchant à majorer $P(a)$ j’ai alors vite compris ce que je devais faire pour conclure : une disjonction de cas en fonction de si $|a| < 1$ ou si $|a| \geq 1$, car si $P$ est un polynôme de degré $n$, alors $\vert P(a) \vert \leq (\sum_{0}^{n} \vert a \vert^k)$: on va donc avoir besoin d'étudier la série $\sum \vert a \vert^k$ pour se débarrasser de la dépendance en $n$. Si $\vert a \vert <1$ la série converge et on a notre constante de Lipschitz. Sinon, on trouve un contre exemple. J'ai posé la suite $P_n= \sum_0^n X^{2n}$ de sorte à avoir les $P_n(a)$ positifs. La suite des $\frac{f_a(P_n)}{\norme{P_n}})$ tend vers l'infini, donc $f_a$ n'est pas lipschitzienne donc pas continue.}\\

J: Et le cas $|a|=1$?\\

L: C’est comme pour $|a|> 1$ \emph{(Dans le deuxième cas de ma disjonction, j’avais écrit au tableau une inégalité stricte là où elle aurait pu être large)}\\

J: D'accord, deuxième exercice. On va montrer une généralisation de votre proposition W \emph{[La proposition en question : si $E$ est un espace de Banach, si $u \in L(E)$ vérifie $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert < 1$ alors $(Id-u)^{-1}=\sum u^n$}]. On se place à nouveau dans $E$ un Banach. Montrez que si $u : E \rightarrow E $ est contractante (mais pas forcément linéaire) $Id-u$ est un homéomorphisme.\\

L: \emph{[Terrifiée à l'idée de me mélanger les pinceaux sur la définition d'homéomorphisme]} On veut donc montrer que $Id - u$ est bijective , continue , de réciproque continue. La première chose à laquelle je pense, c'est au théorème d'inversion locale...mais évidemment on ne peut pas utiliser ça ici, on est dans un espace de Banach quelconque, on ne peut pas du tout parler de différentiabilité... euh... je vais commencer par la bijectivité, la continuité on verra ensuite... \\

J: Vous ne pouvez pas faire ça maintenant ? \\

L: Si bien sûr : $Id-u$ est une somme de deux fonctions continues.\\

J: Bien, on continue.\\

\emph{Là,j'ai essayé d’étudier la série $\sum u^k$ sur la sphère unité car je voulais retrouver le même genre d’argument que dans ma proposition W. Mais sans la linéarité, ça ne marche pas du tout. Le jury me pousse à nouveau dans la bonne direction}\\

J: $u$ est contractante que pouvez-vous en déduire ?\\

L: Ah! $u$ admet un unique point fixe $x$. \emph{(Quelques secondes de bidouille d’égalités plus tard)}. Cet unique point fixe c'est l’image réciproque de 0 par $Id-u$. On voudrait faire ça pour tout le monde, pas juste pour 0.\\

\emph{Illumination : ça y est, je sais pourquoi j'ai pensé au théorème d'inversion locale en voyant l'énoncé ! Il faut utiliser le même genre d'astuce que dans la preuve du dit théorème ! Pour tout $y \in E$ je pose une fonction $F_y$ pour transformer le problème d'inversion $u(z) = y$ en un problème de point fixe $F_y(z) = z$. J'arrive très vite à poser la bonne fonction et à montrer qu'elle est contractante.}\\

L: Maintenant, montrons que cet inverse est continu. On va montrer qu'il est lipschitzien. \\

\emph{Là, ça a été beaucoup plus long que nécessaire : j'ai pris trop de temps à bien poser mes variables, et j'ai fait des erreurs de signe une ligne sur deux. Je finis pas montrer que, quand $u$ est $k$-contractante, $Id-u$ est $1-k$-lipschitzienne. Le jury m'empêche de me prendre les pieds dans mes erreurs de calcul, mais je suis déçue d'en avoir fait autant.}\\


J: Très bien, je vous pose un un dernier exercice qu’on aura pas le temps de finir. Montrez que si $f \in L(E)$ \emph{(je ne suis même plus sûre que $f$ était linéaire en fait)}, $f$ est continue si et seulement si $A= {x \in E, ||f(x)||=1} $ est fermé. \\

\emph{Je prouve le sens direct. Aucune difficulté, c'est juste dire que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est continue.}\\

J: On n'a pas le temps pour la réciproque. C'est terminé.\\

Très aidant et bienveillant.

Oui, tout à fait. J'avais peur de l'étape "vérification des livres" mais aucun soucis

16

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

Un deuxième développement hors sujet, bien que ce soit une application de l'isométrie de Plancherel qui est le prolongement d'une application linéaire continue. Des questions autours du développements et de mon Lemme qui portait sur la caractérisation des espaces vectoriels normés complet par les séries, on m'a demandé des détails sur la construction d'une sous suite. J'ai eu des questions basiques sur les espaces L^p .
Le jury m'a demandé une esquisse de preuve de l'équivalence des normes et de la continuité des applications linéaires continues en dimension finies et un exercice sur des applications linéaires non continues en dimension infini. On m'a demandé ce que voulait dire l'équivalence des normes d'un point de vue géométrique. Et des questions sur les espaces de Hilbert ainsi qu'un exercice auxquels j'ai su répondre bien que je ne parlais pas des Hilbert dans mon plan.

Un jury plutôt bienveillant et qui n'hésite pas à donner des indications lorsque l'on bloque.

J'étais très content de mon oral, j'avais à mon sens fais une bonne présentation et un développement maitrisé et des questions auxquels j'ai su répondre même si des indications étaient nécessaire parfois. Malgré cela la note ne suit pas mes impressions.

8

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Espace de Bergman du disque unité

Pas de réponse fournie.

Pas de réponse fournie.

- Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)

- Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?

- Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)

- Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.

-Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.

- Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).

Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.

Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.

14.75