Petit guide de calcul différentiel

Rouvière

Utilisée dans les 27 développements suivants :

Lemme de Morse
Théorème du relèvement
Théorème d'inversion locale
Méthode de Newton
Théorème du point fixe de Brouwer
Méthode de Laplace
Extrema liés
Différentiabilité de l'exponentielle de matrices
Théorème de Liapounov
Différentielle du déterminant
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Hahn Banach (version analytique) en dimension finie
Différentielle de la limite
Classification des points fixes dans R
Cauchy Lipschitz avec point fixe
Point de Fermat d'un triangle
Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums
Description géométrique des normes
Caractérisation des fonctions différentiables convexes
Espace tangent et extrema liés
Théorème d'interversion limite et différentielle
Inégalité de Hadamard (par le th des extrema liés)
Inverser sans inverser
Méthode de Newton multi-D
Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)
Convergence de la méthode de Newton
L'exponentielle Matricielle est C1

Utilisée dans les 35 leçons suivantes :

157 (2025) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
171 (2025) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
219 (2025) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
223 (2025) Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
218 (2025) Formules de Taylor. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
228 (2025) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2025) Connexité. Exemples d’applications.
209 (2025) Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.
214 (2025) Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
226 (2025) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
253 (2025) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
159 (2025) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
205 (2025) Espaces complets. Exemples et applications.
215 (2025) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
220 (2025) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
191 (2025) Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
170 (2025) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
149 (2025) Déterminant. Exemples et applications.
229 (2025) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
206 (2025) Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
224 (2025) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
239 (2025) Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
105 (2025) Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
144 (2025) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
152 (2025) Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
155 (2025) Exponentielle de matrices. Applications.
208 (2025) Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
221 (2025) Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
235 (2025) Problèmes d’interversion de symboles en analyse
241 (2025) Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
236 (2025) Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

Utilisée dans les 85 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Nous montrons l'égalité entre ces trois angles au moyen du calcul différentiel. Nous prouvons que le minimum est strict en justifiant que $f$ est strictement convexe sur tout ouvert convexe ne contenant pas $A,B$ ni $C$ (sur de tels domaines, $f$ est $C^{\infty}$ donc il est possible de différentier deux fois).
    Attention, Rouvière n'utilise pas cet argument dans sa correction. Il utilise un argument géométrique pour prouver l'unicité (mais alors ça se recase moins...)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 151, 158, 170, 171, 214 et 215.

    Ma version du lemme préliminaire est assez fortement modifiée par rapport à celle de l'excellent livre de F. Rouvière.

    Une application relativement simple du lemme de Morse est la distance au plan tangent (exercice 111 p341 de la 4e édition du même ouvrage).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 204 et 215.

    C'est un développement que j'avais préparé au cas où et qui est version fortement modifiée de celle du livre de F. Rouvière pour utiliser de la connexité.

    Je le partage pour la forme, il y a bien mieux pour ces deux leçons.
    Peut-être juste savoir que c'est une application importante de l'inégalité des accroissements finis.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Tel que je l'ai préparé, ce développement entre aussi dans la leçon 159 Formes linéaires et dualité (confirmé par un enseignant), mais pas dans la leçon 214 TIL, TFI.

    Je conseille de connaître au moins une idée de démonstration du résultat admis sur l'espace tangent parce que c'est ça qui fait vraiment marcher le preuve des extrêma liés.

    Je pense avoir fait quelque chose d'un peu plus efficace en temps que ce que fait Rouvière en traitant le cas du maximum et du minimum en même temps.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

    Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

    Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

    Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

    Attention aux coquilles.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement pas simple mais qui se retient bien une fois qu'on l'a travaillé. On peut faire plus, on peut en faire moins, à vous de voir (les autres documents sur agreg-maths sont très biens !). Les dessins sont indispensables le jour j je pense donc prenez l'habitude d'en faire.

    Je prends ce développement pour les leçons 161 et 229 (il faut sans doute plus insister sur l'étape 4 pour la leçon 229).

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 376.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    J'avais rajouté le lemme pour insister sur le recassage pour les leçon de convexité mais au final je me suis rendu compte que c'était trop ambitieux et pas nécessaire si l'on explique bien avec un schéma ce qui ce passe et en quoi la convexité nous aide.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Ce développement est simple, efficace. Il faut par contre avoir bien compris la méthode, savoir l'illustrer avec des dessins, et savoir expliquer "pourquoi on sait que ça va marcher en posant $F$ comme cela" (point fixe superattractif, voir exo associé dans le Rouvière).
    Je ne traitais pas l'exemple dans le développement, je préférais commencer le développement par une explication rapide de la méthode avec un dessin, les tangentes etc...
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc.
    Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas.

    Côté recasages à mon avis:
    Suites numériques
    Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
    Formules de Taylor

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 139 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
    Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
    Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
    Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
    Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
    Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
  • Références :
  • Fichier :