Petit guide de calcul différentiel

Rouvière

Utilisée dans les 23 développements suivants :

Lemme de Morse
Théorème du relèvement
Théorème d'inversion locale
Méthode de Newton
Théorème du point fixe de Brouwer
Méthode de Laplace
Extrema liés
Différentiabilité de l'exponentielle de matrices
Théorème de Liapounov
Différentielle du déterminant
Hahn Banach (version analytique) en dimension finie
Différentielle de la limite
Classification des points fixes dans R
Point de Fermat d'un triangle
Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums
Description géométrique des normes
Caractérisation des fonctions différentiables convexes
Espace tangent et extrema liés
Théorème d'interversion limite et différentielle
Inégalité de Hadamard (par le th des extrema liés)
Inverser sans inverser
Méthode de Newton multi-D
Point fixe de Banach-Picard + Cauchy-Lipschitz (linéaire ou global)

Utilisée dans les 25 leçons suivantes :

157 (2024) Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
171 (2024) Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
219 (2024) Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
223 (2024) Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
218 (2024) Formules de Taylor. Exemples et applications.
207 (2022) Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
228 (2024) Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.
202 (2019) Exemples de parties denses et applications.
204 (2024) Connexité. Exemples d'applications.
209 (2024) Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.
214 (2024) Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.
150 (2022) Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.
226 (2024) Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.
253 (2024) Utilisation de la notion de convexité en analyse.
159 (2024) Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
205 (2024) Espaces complets. Exemples et applications.
215 (2024) Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
220 (2024) Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.
191 (2024) Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.
170 (2024) Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.
149 (2024) Déterminant. Exemples et applications.
229 (2024) Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
206 (2024) Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
244 (2024) Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
224 (2024) Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Utilisée dans les 68 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    Nous montrons l'égalité entre ces trois angles au moyen du calcul différentiel. Nous prouvons que le minimum est strict en justifiant que $f$ est strictement convexe sur tout ouvert convexe ne contenant pas $A,B$ ni $C$ (sur de tels domaines, $f$ est $C^{\infty}$ donc il est possible de différentier deux fois).
    Attention, Rouvière n'utilise pas cet argument dans sa correction. Il utilise un argument géométrique pour prouver l'unicité (mais alors ça se recase moins...)
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 151, 158, 170, 171, 214 et 215.

    Ma version du lemme préliminaire est assez fortement modifiée par rapport à celle de l'excellent livre de F. Rouvière.

    Une application relativement simple du lemme de Morse est la distance au plan tangent (exercice 111 p341 de la 4e édition du même ouvrage).

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 204 et 215.

    C'est un développement que j'avais préparé au cas où et qui est version fortement modifiée de celle du livre de F. Rouvière pour utiliser de la connexité.

    Je le partage pour la forme, il y a bien mieux pour ces deux leçons.
    Peut-être juste savoir que c'est une application importante de l'inégalité des accroissements finis.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Tel que je l'ai préparé, ce développement entre aussi dans la leçon 159 Formes linéaires et dualité (confirmé par un enseignant), mais pas dans la leçon 214 TIL, TFI.

    Je conseille de connaître au moins une idée de démonstration du résultat admis sur l'espace tangent parce que c'est ça qui fait vraiment marcher le preuve des extrêma liés.

    Je pense avoir fait quelque chose d'un peu plus efficace en temps que ce que fait Rouvière en traitant le cas du maximum et du minimum en même temps.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.

    Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.

    Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.

    Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).

    Attention aux coquilles.
  • Références :
  • Fichier :
  • Développement :
  • Remarque :
    Développement pas simple mais qui se retient bien une fois qu'on l'a travaillé. On peut faire plus, on peut en faire moins, à vous de voir (les autres documents sur agreg-maths sont très biens !). Les dessins sont indispensables le jour j je pense donc prenez l'habitude d'en faire.

    Je prends ce développement pour les leçons 161 et 229 (il faut sans doute plus insister sur l'étape 4 pour la leçon 229).

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 376.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 73 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples "pratiques" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
    Petits typos :
    -dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
    -dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire "Localement, à difféomorphisme près" ou "A difféomorphismes locaux près" : il n'y a pas unicité du difféo...

    A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).

    En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
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