Leçon 153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

(2023) 149
(2025) 153

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction ; les polynômes d'endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre Krus, en particulier en connaître la dimension, et aux liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre Krus. Il est ensuite possible de s'intéresser aux propriétés globales de cette algèbre (inversibles, condition nécessaire et suffisante assurant que ce soit un corps...). De même il est important de mettre en évidence les liens entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Le lemme des noyaux, les polynômes caractéristiques et minimaux doivent figurer dans la leçon. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître des conséquences théoriques et pratiques. On attend que la candidate ou le candidat soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). L'aspect applications est trop souvent négligé. Il est par exemple possible d'envisager des applications au calcul de $A^k$ à l'aide d'un polynôme annulateur, aux calculs d'exponentielles de matrices ou de mener l'analyse spectrale de matrices stochastiques. Pour aller plus loin, la candidate ou le candidat pourra étudier des équations matricielles et de calcul fonctionnel, avec par exemple l'étude de l'extraction de racines ou du logarithme.

(2023 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder le bagage théorique propre aux vecteurs propres et aux valeurs propres et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre ni, matrices stochastiques...) et donne des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$ une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. On peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et $QR$ pour la recherche d'éléments propres. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu et illustré. On peut aussi s'intéresser à la localisation des valeurs propres. Pour aller plus loin, on peut aborder la problématique du conditionnement en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes, s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être faits avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matrices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.
(2022 : 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.) Cette leçon doit aborder la notion de vecteurs propres et de valeurs propres de façon générale et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre fini...) et donné des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur R ou C une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = AX_n$ doit être connu et illustré. On peut s'intéresser à la localisation des valeurs propres. La problématique du conditionnement doit être abordée en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes. Parmi les points intéressants à développer, on peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et QR pour la recherche d'éléments propres. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matriices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

Développements :

Plans/remarques :

2024 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    La plus analytique des leçons d'algèbre ? Quoi qu'il en soit je suis tombé dessus cette année et j'ai dû la choisir malgré que je déteste l'analyse matricielle.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Plan semi détaillé.

    Leçon avec laquelle je suis pas à l'aise. Je pense avoir mis le minimum. Les gens avec une autre option je pense seront plus à l'aise.
  • Fichier :

2023 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 149 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Leçon choisie :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Longs échanges à propos du développement, quelques questions sur le plan. Puis un petit exercice (trouver le maximum sur la sphère unité de la fonction $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ pour $u$ endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    RAS. Le jury était peu bavard, mais efficace dans ses questions. Ils cherchent vraiment à tester la compréhension des résultats écrits par le candidat. Ah si, un membre a qualifié ma défense du plan de "lecture insipide" (mais c'était probablement le cas, ce n'est pas un point sur lequel j'ai travaillé au cours de l'année).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Alors, premier jour donc pas mal d'organisation à expliquer. On tire les couplages, et je me décompose littéralement en découvrant deux sujets que je ne maîtrise pas. Je me ressaisis et choisis la leçon qui me parle le plus, et dont les développements sont les plus simples (histoire de réussir au moins ça).
    La préparation se passe bien, mais je m'y étais préparé au cours de l'année. J'ai globalement fait le plan que j'avais prévu, qu'on peut découper en deux grosses parties : calcul exact de valeurs propres / localisation et calcul approché de valeurs propres.
    Pendant l'oral j'ai l'impression de plutôt bien réussir sur les questions qui concernent la première partie, mais je n'ai quasi rien réussi sur la deuxième. Je ressors donc extrêmement pessimiste de ce premier jour.
    Finalement, la note obtenue est au-dessus de mes espérances.

    Au niveau du temps, on a bien eu pile poil les trois heures de préparation et on a même un petit temps pour relire le développement choisi par le jury. Donc il faut penser à le rédiger proprement au brouillon.

  • Note obtenue :

    10.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 70 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 21 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 51 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)
Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 25 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 67 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 97 versions au total)
Algèbre linéaire numérique., Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud (utilisée dans 8 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Analyse Numérique, Francis Filbet (utilisée dans 5 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)