(2019 : 190 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.)
Il est nécessaire de dégager clairement différentes méthodes de dénombrement et de les illustrer d’exemples significatifs. De nombreux domaines de mathématiques sont concernés par des problèmes de dénombrement, cet aspect varié du thème de la leçon doit être mis en avant. L’utilisation de séries génératrices est un outil puissant pour le calcul de certains cardinaux. De plus, il est naturel de calculer des cardinaux classiques et certaines probabilités. Il est important de connaître l’interprétation ensembliste de la somme des coefficients binomiaux et ne pas se contenter d’une justification par le binôme de Newton. L’introduction des corps finis (même en se limitant aux cardinaux premiers) permet de créer un lien avec l’algèbre linéaire. Les actions de groupes peuvent également conduire à des résultats remarquables. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter des applications de la formule d’inversion de Möebius ou de la formule de Burnside. Des candidats ayant un bagage probabiliste pourront explorer le champ des permutations aléatoires, en présentant des algorithmes pour générer la loi uniforme sur le groupe symétrique $S_n$ et analyser certaines propriétés de cette loi uniforme (points fixes, cycles, limite $n \to +\infty$...).
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
— Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
— Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
— Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.
Après ça, c'était terminé.
Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…
RAS
10
Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions posées :
présentation de la formule de Mobius par la convolution
trouver un critère d'irréductibilité sur Fq
Le jury était plutôt agréable, les questions étaient suivies d'indications si on ne trouvait pas de pistes, et ils corrigeaient ou demandaient de préciser quand il y avait une erreur/ambiguïté
Pas de réponse fournie.
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exos sans lien direct
justifier des formules de bases
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