(2024 : 181 - Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.)
Dans cette leçon, la notion de convexité doit être abordée d'un point de vue géométrique : les barycentres sont incontournables, et on doit, à ce titre, pouvoir utiliser la notion de coordonnées barycentriques. Les exemples géométriques sont importants et on espère que les notions introduites soient illustrées par des figures. Il est important de parler d'enveloppe convexe et de savoir dessiner l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points dans le plan ; le théorème de Gauss-Lucas trouve parfaitement sa place dans cette leçon. Il semble approprié d'évoquer les points extrémaux, ainsi que des applications qui en résultent. Par ailleurs, il est important d'avoir compris le lien entre fonctions convexes et ensembles convexes. L'étude de certains ensembles convexes de matrices et de leurs propriétés rentre tout à fait dans le cadre de la leçon : on peut penser au cône des matrices symétriques (définies) positives, sur lequel le déterminant est log-convexe. Pour aller plus loin, , les candidates et candidats peuvent présenter le lemme de Farkas, le théorème de séparation de Hahn-Banach, les théorèmes de Helly et de Caratheodory, ou parler des sous- groupes compacts de $GL_n(R)$.
181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mon plan pour contexte:
I. Ensembles convexes
1. Généralités
2. Séparation (dev 1: Hahn Banach)
3. Projection sur un convexe fermé
II. Barycentres
1. généralités
2. lien avec la convexité
III. Polyèdres en dimension 3
1. Généralité
2. Classification des polyèdres réguliers
IV. Applications affines
(dev 2:point de Fermat)
Pas de questions ni de remarques sur le développement.
Sur le plan le jury m'a fait énoncer le théorème de Carathéodory que j'avais omis (je ne l'avait pas trouvé dans les refs) et m'a fait remarqué que les applications affines sont un exemple trop trivial d'application convexe.
Exercices:
I. donner une condition nécessaire et suffisante sur A dans Sn(R) pour que X->tXAX soit convexe.
Je tente la méthode naïve de prendre une combinaison convexe, vu que c'était un mauvaise piste le jury me guide pour me faire remarquer qu'on regarde une forme quadratique. A partir de la on conclut assez rapidement en utilisant le théorème d'inertie de Sylvester: A=tPDP où P est inversible, D diagonale avec des 1,-1 et 0 sur la diagonale. L'application s'écrit alors tXtPDPX=tYDY est convexe si et seulement si il n'y a que des 1 ou des 0 sur la diagonale de D, c'est à dire si et seulement si A positive.
II. Cette fois A définie positive et B un vecteur. Que dire des extremums de X->tXAX+tBX.
Calculer la différentielle de façon classique. On trouve 2tXAH+tBH. On en déduit le gradient facilement qui vaut en X 2AX+B. on trouve le point critique qui est unique. C'est un minimum puisque l'application est convexe.
III. Donner un algorithme pour déterminer l'enveloppe convexe d'un nombre fini de point.
Je ne savais pas faire on n'a pas perdu beaucoup de temps.
IV. démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
Je ne savais pas faire et cette fois le jury ne m'a pas guider du coup j'avanças lentement. L'épreuve s'est terminée durant cette question (une démonstration est faite dans le livre carnet de voyage en algébrie)
Le jury à été sympathique et m'a bien aider dans les exercices.
Beaucoup plus d'exercice que ce à quoi on avait été préparé au cours de l'année dans notre prépa. Je ne avais pas qu'on avait 15 minutes entre la fin de la préparation et le passage pendant lesquelles on peut relire notre plan et nos notes ce qui est sympa.
12.5
181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Montrer que les bissectrices d'un triangle se croisent (Indication : utiliser l'équation normale d'une droite ???) --\textgreater pas su faire :(
Montrer que les médianes se croisent.
Utilisation de Hahn-Banach ?
On prend deux sphères disjointes, $x_0$ un point de la première, $y_0$ le projeté de ce point sur la deuxième, $x_1$ le projeté de $y_0$ sur le première etc. Montrer que ça converge et dire vers quoi.
Comment motiveriez-vous la géométrie affine à une classe ?
Le jury parlait bien mais n'aidait presque pas.
Pas de réponse fournie.
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