Référence : Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Groupe des isométries du cube [no recasage]

Développement :
Groupe des isométries du cube [no recasage]
Remarque :
"Élu produit de l'année" dans le NH2G2 Tome 2.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni

Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

Développement :
Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8
Remarque :
C'est l'exercice E.21 page 333 du livre de Caldero, tome 2 (nouvelle édition).
En complément, la preuve de la classification des groupes d'ordre 8 est faite dans le livre de Francinou et Gianella (Attention, ce n'est pas un FGN !)
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
- Exercices mathématiques , Francinou, Gianella

Extrema liés

Développement :
Extrema liés
Remarque :
J'ai combiné deux références et repris des éléments des preuves précédentes en corrigeant 2/3 coquilles. J'en ai profité pour faire un tir groupé sur les sous-variétés.
Références :
- Calcul différentiel, Avez
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- SousVarExtrLies.pdf

Quaternions et isomorphismes exceptionnels

Développement :
Quaternions et isomorphismes exceptionnels
Remarque :
On démontre des isomorphismes exceptionnels liés aux quaternions. C'est l'objet des deux théorèmes.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- QuaternionsIsomExceptionnels.pdf

Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G

Développement :
Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G
Remarque :
p.394
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni

Entiers algébriques et caractères irréductibles

Développement :
Entiers algébriques et caractères irréductibles
Remarque :
Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- entiers_algebriques.pdf

Le groupe SO2(Fq)

Développement :
Le groupe SO2(Fq)
Remarque :
Pas spécialement difficile et assez élégant.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- so2(Fq).pdf

Le groupe SO3(R) est simple

Développement :
Le groupe SO3(R) est simple
Remarque :
Il peut être bon de se pencher sur le théorème de Cartan-Dieudonné pour aborder ce développement.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- simplicite_so3.pdf

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Développement :
Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible
Remarque :
Développement 1.15 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
On démontre seulement que le degré d'une représentation irréductible divise le cardinal du groupe.
On en déduit, un lemme rigolo : si $G$ est d'ordre $n$ impair, avec $k$ classes de conjugaison, alors $$n \equiv k \pmod 8$$
Recasages : 103, 104 et 144
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni

Indicateur de Frobenius-Schur

Développement :
Indicateur de Frobenius-Schur
Remarque :
Développement 1.16 de https://perso.ens-lyon.fr/benjamin.fleuriault/agreg/dev.pdf
Je pense qu'il faut avoir pris du recul sur la preuve pour la présenter.
Le rapport du jury en parle dans la leçon "formes quadratiques réelles", ce qui me semble être hors-sujet.
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni

Isométries du cube

Développement :
Isométries du cube
Remarque :
Recasages: 101, 104, 105, 161, 191

Rombaldi [2e édition] p85-89
Caldero NH2G2 II p219-223

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- Isométries du cube.pdf

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Développement :
Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
Références :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Dénombrement diago.pdf

Le groupe SO2(Fq)

Développement :
Le groupe SO2(Fq)
Remarque :
Recasages (ou non):
- 106, 123 sans aucune hésitation
- 104, 190 ça peut se défendre
- 120, 162 c'est carrément abusé
- 102 je ne vois pas le rapport

J'ai écrit ce document à partir de celui de Augustin LOIRAT, en apportant quelques détails sur certains passages.
C'est vraiment un très beau développement, mathématiquement très riche !

Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Référence :
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- SO2Fq.pdf

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Développement :
Théorème de Burnside (Groupes simples)
Remarque :
Ce document est très long, mais c'est parce que j'ai mis beaucoup de commentaires et des démonstrations de quelques propriétés qu'on utilise dans le développement.
PS : Vers la fin j'utilise l'argument : "G est abélien donc non simple", mais c'est aussi parce que G est d'ordre non premier.
Références :
Fichier :
- Théorème de Burnside _Groupes simples_.pdf

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Développement :
Théorème de Burnside (Groupes simples)
Remarque :
Je mets ce pdf ici car je n'ai pas trouvé de référence complète qui soit convaincante. Je trouve le développement mal fait dans 131 devs. L'essentiel du développement est dans le livre de Rauch mais j'ai du compenser certains résultats (ceux qui portent sur l'algèbre d'un groupe) par un exo corrigé qui se trouve dans NH2G2 II. Je n'exclus pas les erreurs et les coquilles, merci de me prévenir si vous en trouvez.
Références :
- Les groupes finis et leurs représentations, Gérard Rauch
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- Théorème de Burnside groupes résolubles.pdf

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

Leçon :
Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Remarque :
Référence supplémentaire: Algèbre et géométrie: CAPES et Agrégation : Pierre Burg

Les deux développements son plutôt hors sujet. C'est une leçon intéressante en soi, mais comme je ne veux pas parler de LU, QR & cie., je manque de choses à dire. Pour combler le vide, j'ai détaillé l'entièreté de l'algorithme du pivot de Gauss, mais ce n'est pas une bonne solution...
Références :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
- Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni
Fichier :
- 162.pdf

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçon :
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Remarque :
Bcp de possibilités pour les développements :
- isomorphismes exceptionnels
- p-Sylow de GL_n(F_q) (prop 14 de mon plan)
- Nb d'endo diagonalisable sur M_n(F_q)
- Nb d'endo nilpotent sur M_n(F_q) avec lemme de Fitting
- Automorphismes de S_n
- Décomposition de Bruhat + action sur les drapeaux.
Références :
Fichier :
- 190.pdf

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Utilisée dans les 14 développements suivants :

Utilisée dans les 2 leçons suivantes :

Utilisée dans les 18 versions de développements suivants :

Groupe des isométries du cube [no recasage]

Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Le groupe SO2(Fq)

Extrema liés

Quaternions et isomorphismes exceptionnels

Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G

Entiers algébriques et caractères irréductibles

Le groupe SO2(Fq)

Le groupe SO3(R) est simple

Anneau des entiers algébriques et degré d'une représentation irréductible

Indicateur de Frobenius-Schur

Isométries du cube

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

Le groupe SO2(Fq)

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Théorème de Burnside (Groupes simples)

Utilisée dans les 2 versions de leçons suivantes :

162 : Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.