Développement : Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Détails/Enoncé :

Tout endomorphisme $f$ s'écrit, sous réserve que $\chi_f$ soit scindé dans $K$, sous la forme $f = d + n$ où $d$ est un endomorphisme diagonalisable et $n$ un endomorphisme nilpotent.

Il existe une démonstration algorithmique de cette décomposition.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Version un peu plus forte que Dunford usuel : d et n sont des polynômes en f.

    Comme c'est un développement ultra classique, je conseille d'ajouter le commentaire sur les conséquences de la décomposition de Dunford dans l'étude de l'exponentielle de matrices (A est diagonalisable ssi e^A l'est), notamment son injectivité. Mais ça rend les choses compliquées en terme de temps.
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    Développement très classique, assez long et de niveau correct.
    On démontre que dans la décompostion de Dunford f = d+n, d et n sont des polynomes en f.
    On utilise l'identité de Bezout, le théorème de diagonalisation simultanée et le fait que si deux endomorphismes nilpotents n et n' commutent alors n'-n est nilpotent.
    Si on veut, on peut omettre la polynomialitée de d et n en f (c'est également fait dans Gourdon) et rajouter (pour bien tenir 15 minutes) la décomposition de Dunford de exp(A), mais dans ce cas on ne peut plus présenter ce développement dans la 153 et ça me parait trop peu pour le recaser dans la 156.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
    NB3 : ATTENTION : si P et Q sont deux polynomes et f un endomorphisme, on a (P*Q)(f) = P(f)°Q(f) et non pas: (P*Q)(f) = P°(Q(f)).
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    Développement archi classique, peut être trop (le jury n'a pas l'air de trop l'apprécié). Même si on ne le présente pas c'est quand même important de connaître la preuve. Ca aide parfois aux écrits.
    L'application à l'exponentielle est facultative, à faire en fonction du temps et de la leçon proposée
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    Testé et approuvé !

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 334 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 70 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 499 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 116 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 55 versions au total)