(2020 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l’ordre de multiplicité d’une racine (définition algébrique et analytique, quand c’est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en œuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines.
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Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d’Alembert-Gauss. Il est apprécié de faire apparaître le lien entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices. Les candidats peuvent également s’intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes de Descartes et de Sturm. L’étude des propriétés des nombres algébriques peuvent trouver leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des
corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente.
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S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
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Il ne s’agit par contre en aucun cas d’adapter le plan de la leçon 141 : l’irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l’élément central de la leçon.
(2019 : 144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Dans cette leçon, il est indispensable de bien définir l’ordre de multiplicité d’une racine (définition algébrique et analytique, quand c’est possible). Les fonctions symétriques élémentaires et les relations entre coefficients et racines doivent être maîtrisées et pouvoir être mises en œuvre. Des méthodes, même élémentaires, de localisation des racines ont toute leur place et peuvent déboucher sur des résultats de topologie à propos de la continuité des racines. $\\$ Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé et de citer le théorème de d’Alembert-Gauss. Il est apprécié de faire apparaître le lien entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices. Les candidats peuvent également s’intéresser aux racines des polynômes orthogonaux, ou aux règles des signes deDescarteset de Sturm. L’étude des propriétés des nombres algébriques peuvent trouver leur place dans cette leçon. La théorie des corps et le cas particulier des corps finis peuvent aussi être évoqués de façon pertinente. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques deGershgorin. $\\$ Il ne s’agit par contre en aucun cas d’adapter le plan de la leçon 141 : l’irréductibilité des polynômes peut être évoquée mais ne doit pas être l’élément central de la leçon.
(2017 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolution, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres,
etc.). Il est apprécié de faire apparaître le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; l’étude des valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
(2016 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Dans cette leçon on peut présenter des méthodes de résolutions, de la théorie des corps, des notions de topologie (continuité des racines) ou même des formes quadratiques. Il peut être pertinent d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). Notons le lien solide entre la recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices ; les valeurs propres de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien.
S’ils le désirent, les candidats peuvent s’aventurer en théorie de Galois ou s’intéresser à des problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin.
(2015 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc. ).
On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines.
Notons le lien solide entre la recherche des racines d'un polynôme et la réduction des matrices. Les valeurs propres de la matrice compagnon d'un polynôme permet d'entretenir ce lien. Les problèmes de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin, sont tout à fait appropriés à ce contexte.
(2014 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.)
Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines.
