Référence : Théorie des corps

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- gauss_thm.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
On sépare l'étude par nombre premiers. Pour $\omega = e^{2i\pi/p}$ où $p$ est premier. On montre qu'il est constructible avec le théorème de Wantzel. Pour créer la tour d'extension quadratique on trouve un générateur du groupe des automorphismes de $Q(\omega)$.
le recasage c'est Mathieu D. bien sûr
Références :
- Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- thm_gauss_tom.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- 21 _ Théorème de Gauss _polygônes constructibles_.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
A mettre dans le plan, ou à mentionner: Théorème de Wantzel sur les nombres constructibles, irréductibilité des polynômes cyclotomiques, et le fait que ces derniers sont à coefficients rationnels (en fait entiers, mais rationnels suffit).
Remarque: je préconise de mettre sous la forme de plusieurs lemmes la fin du développement, qui serait un peu trop long sinon.
J'ai travaillé avec la version de l'Isenmann, mais le Carréga le fait aussi (de façon un peu moins compréhensible je trouve).
Références :
- Théorie des corps , Carréga
- L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte
Fichier :
- Th_or_me_de_Gauss_Wantzel.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Je ne démontre qu'une implication (mais je crois que c'est ce que tout le monde fait).
J'avoue avoir eu la flemme d'écrire la toute fin de la démonstration où on montre que les p_i sont des nombres de Fermat car la preuve est classique (mais à savoir !).
(pp48-51)
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Théorème de Gauss.pdf

Corollaire du théorème de Wantzel et réponse négative à la trisection de l'angle

Développement :
Corollaire du théorème de Wantzel et réponse négative à la trisection de l'angle
Remarque :
J'ai ajouté la preuve du théorème de la base télescopique pour que le recasage dans la leçon 151 soit joli, mais la dite preuve n'est pas présente dans le livre laissé en référence.
Le livre en question, dont le fil rouge est la constructibilité à la règle et au compas, présente de nombreux commentaires autour du développement que je n'ai pas laissés dans mon pdf.
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- dev34.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Il y a déjà beaucoup de versions de ce développement, mais je suis trop fier de mon pentagone :)

Selon moi : leçons 102, 125, 144, 191(2023). Attention aux recasages proposés ici, je trouve que c'est un peu n'importe quoi.

N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Malartre_constructibilité_polygones.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6

Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Développement.pdf

Théorème de Wantzel

Développement :
Théorème de Wantzel
Remarque :
À partir de P.25/16 (selon l'édition)

Conseil de Perrin pour la leçon 191 : Faire peut-être plus vite la réciproque, en faisant aussi le corollaire "Constructible => Degré = 2^n" + Impossibilité de la duplication du cube
Référence :
- Théorie des corps , Carréga

Théorème de Wantzel

Développement :
Théorème de Wantzel
Remarque :
Selon moi : 127 (Nombres remarquables), 191 (Techniques d'algèbre en géométrie) et voire 125 (Extensions de corps).
Le développement est assez long, la preuve de l'impossibilité de certaines trisections peut-être enlevée ou même remplacée par l'impossibilité de la duplication du cube.
Réf : Carréga p. 24
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Dvlpt théorème Wantzel.pdf

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Développement :
Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Remarque :
Le résultat est en soi remarquable ! Pour l'anecdote, on ne sait toujours pas s'il y a d'autres nombres de Fermat (de la forme $1+2^{2^{\beta}}$) que $3$, $5$, $17$ et $65.537$ qui sont premiers ! Soyez prêts à répondre aux questions sur les polynômes cyclotomiques, sur le fait que les nombres constructibles forment un corps stable par racine carrée, et sur les corps de rupture pour ce développement ! Sinon, connaître un peu de théorie de Galois permet d'avoir du recul sur la preuve de la constructibilité de $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ lorsque $p$ est premier de Fermat.
Référence :
- Théorie des corps , Carréga
Fichier :
- Polygones constrcutibles à la règle et au compas.pdf

121 : Nombres premiers. Applications.

Leçon :
Nombres premiers. Applications.
Remarque :
La partie "théorie analytique des nombres" est peu être trop poussée (pour une leçon d'algèbre).
Il manque des choses sur la cryptographie.
Références :
Fichier :
- L 121.pdf

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Leçon :
Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
Remarque :
Leçon plus difficile à faire qu'il n'y paraît. Grifone est très bien à suivre (même s'il faut parfois le compléter, avec Gourdon notamment) mais pas de manière linéaire.
Références :
Fichier :
- 151 - 20sd.pdf

191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Leçon :
Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
Remarque :
Il est préférable d'ajouter le fait que l'ensemble des réels constructibles est un corps stable par racine carrée, que j'ai oublié dans le plan mais qu'on utilise.
Références :
Fichier :
- Leçon 191.pdf

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Leçon :
Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
Remarque :
La dernière partie ne me plaît pas vraiment ... Elle constitue une sorte de "Applications".
Références :
Fichier :
- Leçon 144.pdf

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

Leçon :
Extensions de corps. Exemples et applications.
Références :
- Théorie des corps , Carréga
- Cours d'algèbre , Perrin
Fichier :
- Leçon 125.pdf

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

Leçon :
Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.
Remarque :
Étant une leçon d'exemples, j'ai essayé d'y mettre au maximum des exemples qui se réutilisent dans d'autres leçons, d'où la partie sur les corps de nombres qui se recase dans les leçons sur les corps et la partie sur les nombres constructibles qui se recase dans les leçons de géométrie.
Références :
Fichier :
- 127-klingler.pdf

Théorie des corps

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Utilisée dans les 7 leçons suivantes :

Utilisée dans les 11 versions de développements suivants :

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Corollaire du théorème de Wantzel et réponse négative à la trisection de l'angle

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Théorème de Wantzel

Théorème de Wantzel

Théorème de Gauss (polygones constructibles)

Utilisée dans les 7 versions de leçons suivantes :

121 : Nombres premiers. Applications.

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

191 : Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.