Théorie des corps

Carréga

Utilisée dans les 3 développements suivants :

Théorème de Gauss (polygones constructibles)
Théorème de Wantzel
Corollaire du théorème de Wantzel et réponse négative à la trisection de l'angle

Utilisée dans les 8 leçons suivantes :

121 (2026) Nombres premiers. Applications.
148 (2026) Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
191 (2026) Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.
144 (2026) Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
125 (2026) Extensions de corps. Exemples et applications
102 (2026) Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.
127 (2026) Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.
141 (2026) Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Utilisée dans les 15 versions de développements suivants :

  • Développement :
  • Remarque :
    À partir de P.25/16 (selon l'édition)

    Conseil de Perrin pour la leçon 191 : Faire peut-être plus vite la réciproque, en faisant aussi le corollaire "Constructible => Degré = 2^n" + Impossibilité de la duplication du cube
  • Référence :
  • Développement :
  • Remarque :
    Le résultat est en soi remarquable ! Pour l'anecdote, on ne sait toujours pas s'il y a d'autres nombres de Fermat (de la forme $1+2^{2^{\beta}}$) que $3$, $5$, $17$ et $65.537$ qui sont premiers ! Soyez prêts à répondre aux questions sur les polynômes cyclotomiques, sur le fait que les nombres constructibles forment un corps stable par racine carrée, et sur les corps de rupture pour ce développement ! Sinon, connaître un peu de théorie de Galois permet d'avoir du recul sur la preuve de la constructibilité de $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ lorsque $p$ est premier de Fermat.
  • Référence :
  • Fichier :

Utilisée dans les 25 versions de leçons suivantes :

  • Leçon :
  • Remarque :
    Je suis passé en avril en oral blanc dessus. Ce plan a donc été fait en temps limité (1h30 sur le plan, le reste sur le dev). Le jury m'a dit que la partie sur l'équirépartition était superflue. Je suis assez d'accord, si j'étais repassé dessus j'aurai mis plus de résultats sur les entiers algébriques, et j'aurai mis le théorème de Burnside (les groupes de cardinal p^aq^b sont résolubles) en développement. Globalement le plan est béton je pense; il m'a valu un 18. Je vais voir pour le taper en LaTeX pour une meilleure lisibilité, mais par rapport à mes autres plans je le trouve assez lisible!
    Si ça peut servir : voilà les questions que j'ai eu. Je saute celles sur le dev.
    On m'a fait étudier l'anneau des décimaux, qui est principal, et on m'a fait déterminer ses inversibles.
    On m'a demandé le lien entre Z[isqrt(2)] et Q[isqrt(2)] (anneau des entiers), et si c'était toujours comme ça (ça dépend de d mod 4)
    On m'a demandé pourquoi j'appelais mon stathme N dans mon développement : c'est la norme de l'extension Q[isqrt(2)] sur Q. On m'a demandé ce que je savais là dessus.
    On m'a demandé si culturellement je savais quels étaient les noms associés à la transcendance de e.
    On m'a demandé de prouver que les nombres algébriques formaient un corps algébriquement clos.
    On m'a fait déterminer les triplets pythagoriciens de la forme (n,n+1,m).
    Et peut être d'autres choses que j'ai oublié!
    N'hésitez pas à me contacter pour toute remarque ou question.

  • Références :
  • Fichier :
  • Leçon :
  • Remarque :
    Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
    Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
    Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
    Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
    pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
    pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
    pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
    Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
    Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!
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