Décomposition de Dunford

Ce développement est efficace, il se recase bien. Par contre, il est lourd en notations dans la première démo, il faut bien s'entraîner. Il s'agit de la DEUXIEME version de Dunford dans le Gourdon ! Une de mes professeurs avait insisté sur le fait que le jury n'aimait pas la première !
Il faut savoir trouver les projecteurs spectraux en pratique et en déduire la décomposition de Dunford comme dans la preuve (décomposition en éléments simples...voir le sujet maths 1 CCINP 2021 qui traite tout ça sur des exemples, c'est assez éclairant). Il faut aussi avoir très bien compris les arguments de la partie unicité (ce genre de choses tombe souvent à l'écrit)
Je l'ai recasé dans la 142 mais c'est très limite...

Abel angulaire et Taubérien faible

Contrairement aux évaluations "1 étoile" qui sont mises sur le site, ce développement rentre très bien dans 241, 243 et 230 !
C'est pas mal de savoir justifier rapidement qu'en général la réciproque d'Abel angulaire et fausse. Le problème avec ce développement est que le rapport du jury requiert une application "significative", chose que je n'ai pas vraiment trouvée...
Il faut avoir conscience que c'est un résultat de continuité.
Désolé, la 2e page est un petit peu coupée, mais tout est dans la référence.

Théorème de Wedderburn

Il faut passer du temps sur cette preuve pour bien tout comprendre.
Ce développement se recase bien.
Ne prêtez pas attention aux remarques en noir sur la 1ère page, c'était une ébauche de preuve du lemme que j'ai ensuite fait sur la page suivante. Je traitais le lemme d'abord, puis le théorème (pour que ça fasse 15 minutes).

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

Je démontre le lemme de Gauss d'abord (dans le Perrin), puis le lemme sur les polynômes ensuite (Gozard) et enfin le théorème (Gozard). A force de m'entraîner, j'arrivais à faire les 3 en 15 minutes mais il faut être rapide et ne pas hésiter. On peut ne pas faire le lemme de Gauss, je le faisais seulement pour que ça rentre dans la 142...
Comme le dit Tintin, pour mettre ça dans la 125, il faut remplacer le lemme de Gauss par un dernier lemme qu'on démontre après donnant le fait que toute racine primitive de l'unité est algébrique et donnant le degré de l'extension.
Il faut comprendre pourquoi démontrer que si $u$ est racine de $f$ alors pour tout $p$ premier ne divisant pas $n$, $u^p$ est aussi racine de $f$ implique que toutes les racines primitives de l'unité sont racines de $f$. J'avais mis le détail en haut de la 2e page mais ce n'est pas passé au scan...
Désolé, la 2e page est un peu coupée, mais tout est dans les références.

Le théorème des deux carrés

Ce développement se recase très bien dans la 127. Au début de l'année, je ne connaissais pas du tout le problème des deux carrés donc il m'a fallu travailler tout ce qu'il y a dans le Perrin.
Pour le développement, il faut évidemment faire des choix : pour la 122, je suggère les pages 1 et 2
pour la 127, les pages 2 et 3.
Le Perrin ne fait pas très bien la démonstration du dernier théorème, j'ai essayé de la remanier... J'espère qu'elle est correcte. A chaque fois, les remarques en noir étaient pour moi, pour travailler le développement. Notamment tous les isomorphismes de l'avant-dernier théorème doivent être justifiés, c'est principalement le 3e théorème d'isomorphisme. Certaines parties sont un peu coupées, désolé... La version de Tintin est bien meilleure !

Théorème de projection sur un convexe fermé

C'est un développement ultra classique, pas très difficile, qui se recase bien... Je crois que c'était mon préféré !
Avec l'entraînement (et parce que j'écris à 1000 à l'heure), je faisais tout ça en moins de 15 minutes mais en prenant le temps de bien expliquer ce qu'on fait, ce qu'on va faire... ça tient !

Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

/!\ Il ne faut pas prendre en compte le sous-espace "C_tilde", j'avais commencé à le rédiger comme cela puis je me suis rendu compte que ça ne servait à rien...
Il y a sûrement des versions de ce développement mieux rédigées...

Polynômes orthogonaux

Il faut bien comprendre pourquoi on va chercher $f$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}, (f|x^n)=0$ !
Ce développement se recase bien. Pour bien se préparer, il faut avoir regardé le contre-exemple du Beck (exercice 3.7) et surtout savoir répondre à la question méga-classique qui suivra forcément ce développement : comment en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ ?

Endomorphismes semi-simples

Ce développement ne fait pas partie des plus simples, mais le travaillant on y arrive.
Les remarques en noir sont celles que j'ai ajoutées lorsque je le travaillais. A la fin, la remarque a été coupée par le scanner, mais tout est dans le Gourdon.
Ce développement a l'avantage d'être parfait pour la 151 Sous-espaces stables, leçon pour laquelle les développements peuvent être un peu bancals...

Formule d'inversion de Möbius et dénombrement des polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_q$

J'ai présenté ce développement le jour J pour la 125 et il est passé nickel ! Je mets 4 étoiles cependant, car il faut bien le justifier : on construit des extensions de corps (finis ou non) en quotientant par un idéal engendré par un polynôme irréductible !
Ca peut être pas mal de faire l'exo sur la formule d'inversion de Möbius avant de simplement recopier la solution, ce genre de choses peut tomber aux écrits !

Equation de la chaleur

Ce développement demande de bien le travailler pour savoir très bien justifier chaque interversion, chaque étape. Il est aussi très très long, au début je ne faisais que la partie Analyse (c'est suffisant je pense), et puis avec le temps et l'entraînement, j'arrivais à faire tenir aussi la Synthèse dans les 15 minutes.
J'ai parfois rajouté des remarques qui ne sont pas dans la référence pour justifier les interversions. Il faut aussi bien savoir justifier pourquoi on a le droit d'écrire "$f$ égale à sa série de Fourier".

Théorème de Runge (version faible)

Contrairement à mes camardes au dessus, je l'ai volontiers recasé dans la 243... Je comprends leur point de vue cependant. A vous de décider...
Je n'étais pas un grand fan de ce développement, il peut en effet se recaser dans 209 mais j'avais trouvé mieux, dans 245 selon moi c'est vraiment vraiment bof... Bref, je pense que c'est un développement à prendre si on n'a vraiment rien d'autre (bien qu'il aille très bien dans la 204)

Générateurs de Gl_n(K) et Sl_n(K) et application à la connexité

Ce développement mérite d'être bien travaillé, surtout pour justifier que "par hypothèse de récurrence, ça marche", chose que j'ai essayé de faire à la fin en noir. L'application à la connexité permet de recaser ce développement dans la 204.
On peut optimiser le début de la récurrence je pense.

Théorème de Kronecker

J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas...
Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références.
Cela peut être pas mal de savoir "étendre" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ?
Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker).
Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...

Surjectivité de l’exponentielle matricielle

Il faut faire attention avec la démonstration du premier lemme de ce développement dans le Rombaldi, il mélange un peu les intervalles de définition des fonctions ! Le plus simple est de rester sur $]-\frac{1}{\rho(A)};\frac{1}{\rho(A)}[$ tout le long de la preuve, en précisant que "$\frac{1}{0}=\infty$".
Il faut aussi bien savoir justifier que les séries matricielles convergent, qu'on peut dériver terme à terme. C'est ce que j'ai fait sur le côté gauche de la première page mais ça a été coupé par le scan... Je recommande de toute manière de bien travailler la partie du Rombaldi sur le rayon spectral et les séries matricielles.

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Comme pour la surjectivité de l'exponentielle, je conseille de bien travailler la notion de rayon spectral en lien avec les normes matricielles.
La partie la plus difficile de ce développement est de justifier la bicontinuité. Cela repose sur un argument de compacité, notamment le fait que "dans un espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée qui admet une unique valeur d'adhérence converge vers cette valeur d'adhérence", chose que j'ai justifié en bas de la 2e page, dans la version intitulée "plus simplement" (car celle d'avant était compliquée pour rien)... Cela a été malheureusement légèrement coupé par le scan, mais il ne manque pas grand chose...

Injectivité de la transformation de Fourier

On peut faire le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne autrement, en utilisant le théorème des résidus avec un chemin rectangulaire, mais le faire comme ça permet de meilleurs recasages (236,244...)
Il faut savoir justifier que $\gamma_s$ est une approximation de l'unité, et savoir démontrer le théorème sur les approximations de l'unité (même preuve que Fejer).
L'utilisation de Fubini doit être correctement justifiée.
Il faut aussi savoir dire quelques mots sur la non surjectivité : la transformée de Fourier est à image dense (à savoir justifier) mais non surjective (connaître les idées de la démonstration, savoir qu'on utilise le théorème de Banach...)
Voir la version de Tintin au dessus qui est plus jolie car tapée à l'ordi !

Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$

Ce développement n'est pas des plus faciles, il mérite d'être bien travaillé.
Personnellement, je n'avais pas le temps de démontrer le "lemme de Fitting" avant, mais il faut tout de même bien connaître sa démonstration ne serait-ce que pour avoir compris ce qu'est une décomposition de Fitting et LA décomposition de Fitting d'un endomorphisme. Cela sert dès le début de la démonstration du théorème.
A la fin, il y a pas mal de calcul qu'on a le temps ou non de faire, l'important c'est le cheminement.
Il faut savoir justifier le cardinal de $\text{GL}_d(\mathbb{F}_q)$ (ça peut tomber aux écrits !)

Théorème d'inversion locale

Ce développement est difficile, j'ai eu besoin de le refaire de nombreuses fois.
Comme d'habitude, Gourdon expédie des choses qui ne sont pas triviales, notamment au début quand il dit "quitte à considérer telle fonction immonde, on peut supposer que ...." Il faut savoir justifier cela, c'est ce que j'ai essayé de faire sur le côté gauche de la première page, n'hésitez pas à me contacter si vous n'arrivez pas à tout faire à cause du fait que c'est coupé...
Gourdon le fait du point de vue général dans un Banach, mais le cadre des leçons se situe en dimension finie donc je recommande de le faire dans ce cadre et de ne pas dire "isomorphisme bicontinu" mais simplement "inversible" (en dimension finie, la continuité des applications linéaires est automatique).
Il faut aussi savoir appliquer ce théorème, je conseillerais de faire pas mal d'exos plus ou moins subtils dessus.

Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)

Ce développement n'est pas très difficile, et fournit une belle application du théorème des extrema liés.
Je ne faisais pas la première proposition dans le développement, le reste était suffisant pour faire quasi 15 minutes.
Même si on ne fait pas ce développement, il est essentiel de connaître (et savoir retrouver) la différentielle du déterminant, on peut retenir la petite phrase : "la différentielle du déterminant en l'identité, c'est la trace".
Le petit argument de compacité au début de la 2e page est assez crucial, il faut savoir le justifier correctement.

Suite des Arctan itérés

Ce développement a l'avantage de ne pas être le sempiternel "sinus itérés" qui épuise le jury... Son gros désavantage est d'être introuvable en tant que tel dans une référence... Par contre, le Bernis propose un développement concernant une "méthode générale" pour étudier une suite récurrente lorsque la fonction $f$ vérifie certaines conditions et possède un développement limité d'une certaine forme, ce qui est le cas de la fonction Arctan. Il s'agit donc juste d'appliquer cette méthode dans ce cadre particulier.
Le développement n'est donc pas très difficile une fois qu'on a bien compris la méthode (se concentrer sur l'heuristique : pourquoi calcule-t-on cela ? Analogie discret-continu...) mais est très calculatoire ! Il faut donc s'entraîner beaucoup de fois, et apprendre par cœur le résultat (qui finit par rentrer à force de le refaire)

Méthode de Newton

Ce développement est simple, efficace. Il faut par contre avoir bien compris la méthode, savoir l'illustrer avec des dessins, et savoir expliquer "pourquoi on sait que ça va marcher en posant $F$ comme cela" (point fixe superattractif, voir exo associé dans le Rouvière).
Je ne traitais pas l'exemple dans le développement, je préférais commencer le développement par une explication rapide de la méthode avec un dessin, les tangentes etc...

Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Avec de l'entraînement, on peut faire tenir les 2 lemmes et le théorème en 15 minutes. Au delà de connaître la démonstration, il faut avoir bien compris pourquoi il suffit de trouver un 3-cycle dans le sous-groupe distingué non trivial de $\mathfrak{A}_n$. Sinon, le développement n'est pas très difficile, les 2 lemmes sont des exercices sûrement déjà traités en L3 (ou même avant) et le théorème, c'est grosso modo 3 fois le même argument.

Décomposition LU et de Cholesky

Je n'utilisais pas les mêmes recasages que Tintin mais je suis d'accord avec sa remarque. Pour ma part, je le recasais seulement dans 154 et 162.
J'ai trouvé ce développement très enrichissant (je l'ai bossé en même temps que la leçon 154), car je ne connaissais pas du tout ces décompositions avant.
Il faut savoir comment on les obtient en pratique, de manière plus ou moins algorithmique. Savoir comment on peut avoir QR à l'aide de Cholesky et réciproquement.

Théorème de Cauchy-Lipschitz, cas globalement lipschitzien et cas linéaire

Ce développement a le désavantage de ne pas se trouver en tant que tel dans le Berthelin (peut-être dans une autre référence ?) mais il est issu du cours d'équa diff d'un excellent prof.
On n'est pas obligé de se placer dans le cadre d'un Banach général, on peut rester dans un espace vectoriel normé de dimension finie (c'est très probablement ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J), ça évite d'avoir des questions gênantes sur l'intégration (quel sens donner à l'intégrale d'une fonction à valeurs dans un Banach ? Réponse partielle en bas de la première page), en plus le jury pourrait demander un exemple d'équa diff sur un Banach général, et personnellement je n'en connais pas...

Étude du processus de Galton-Watson

Je suis d'accord avec les remarques de Tintin.
J'ai beaucoup travaillé ce développement, pourtant je n'aurais pas aimé tomber dessus donc j'ai minimisé les recasages... Il n'est pas très difficile, mais c'est compliqué de le faire rentrer dans le temps imparti en ayant tout bien expliqué. Les arguments de convexité sont détaillés en noir, mais beaucoup ont été coupés (surtout le bas de la 2e page...) Je vous encourage à essayer de les retrouver tout seul, si vous n'y parvenez pas, n'hésitez pas à me demander.
Ma référence est le Delmas, Modèles Aléatoires qui n'est pas présente sur le site.

Etude de la fonction Gamma et lemme d'Euler

Si on choisit de faire ce développement, il faut vraiment avoir travaillé la fonction Gamma de fond en comble, jusqu'à tracer son graphe. Il faut aussi connaître sa version complexe, et avoir une idée de comment on la prolonge de façon méromorphe sur $\mathbb{C}$ privé de $\mathbb{Z}^-$.
Sinon, ce développement se recase très bien et n'est vraiment pas difficile.

Etude de la fonction Gamma et théorème de Bohr-Mollerup

Il peut être pertinent d'illustrer les inégalités des pentes utilisées par des dessins. On utilise aussi de façon cruciale le lemme d'Euler qui donne l'expression de $\Gamma(x)$ comme une limite. Il faut savoir démontrer ce lemme.

Théorème de Cartan-Dieudonné (générateurs de O(q) et SO(q))

/!\ J'ai un peu merdé sur la rédaction de ce développement (et je n'avais pas le temps de le réécrire à ce moment-là), j'ai rayé le premier théorème que je croyais utile pour le développement (et donc que je pouvais le recaser dans la 159) mais en fait il est complètement hors-sujet (comme quoi il faut toujours lire entièrement un développement avant de le recopier...)

La démonstration vient du Perrin qui expédie souvent les rédactions... J'ai donc essayé de rédiger la récurrence correctement moi-même mais j'ai galéré au vu des ratures... Gardez un regard critique !
En 15 minutes, en expliquant bien, j'arrivais à démontrer le théorème sur $O(q)$, la première étoile et le théorème sur $SO(q)$. Je gardais la deuxième étoile pour d'éventuelles questions. Je pense qu'en se dépêchant un peu plus, on peut intégrer la deuxième étoile au développement. A ce propos, étoile 1 et étoile 2 ne sont pas détaillées dans le livre, j'ai trouvé leur démonstration sur ce site.

Pour faire ce développement, il faut s'assurer d'être bien au point sur les différentes isométries, notamment les renversements (dont je ne connaissais pas la nature avant la prépa agreg...) Par exemple, dans le dernier théorème, j'ai mis un point d'interrogation à un endroit car je ne comprenais pas, j'avais ensuite réglé le problème et je pense qu'il faut savoir bien justifier pourquoi c'est vrai (indice : matrice !)
Il faut faire attention en géométrie car souvent un même objet peut porter plusieurs noms différents suivant les ouvrages... Je pense qu'il faut connaître par coeur la classification des isométries en dimension 2 et 3.

Enfin, si on n'a pas envie de s'embêter avec une forme quadratique (de toute façon, le recasage dans 170 ou 171 est TRES limite), on peut simplement se placer dans $E$ un espace euclidien.

Théorème des extrema liés (par les sous-variétés)

Ce développement (et surtout la théorie derrière) est difficile et demande un gros investissement. Cela vaut le coup si on veut faire la leçon 214 correctement, et si on veut présenter ce développement en tenant compte de la remarque du jury qui n'aime pas trop la version matricielle de la démonstration.
Il faut connaître la définition d'une sous-variété, les différentes caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe) et la notion d'espace tangent (voir ma remarque sur la leçon 214)

Le gros problème de ce développement est que la référence indiquée est vieille et traite cette démonstration de façon fractionnée et expéditive... Je recommande donc de beaucoup le travailler de manière à le connaître par cœur.

En fait, dans ce développement, on démontre plus que le théorème des extrema liés (au delà du lemme d'algèbre linéaire) : on montre en effet le fait que l'espace tangent en un point à une sous-variété est un espace vectoriel de dimension la dimension de la sous-variété, et on montre que c'est même le noyau de la différentielle de la submersion en le point en question.

A la fin de l'année, j'avais tellement refait ce développement que je faisais tout tenir en 15 minutes, mais vous trouverez des conseils en bas de la page 2 pour le tronquer selon la leçon.

Bon courage et n'hésitez pas à me contacter si vous avez des questions.

Equation de Bessel

Ce développement est efficace car se recase bien dans les 2 leçons d'équa diff et n'est pas difficile. Il donne même une jolie application du Wronskien !
Je n'avais pas le temps de faire la récurrence dans les 15 minutes, et même sans la faire, il faut se dépêcher un peu pour faire tout tenir.

Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

Personnellement, j'ai recasé ce développement dans 120,121 et 170. Il rentre aussi dans la 101 et peut-être dans autre chose... à voir... On peut démontrer la loi de réciprocité quadratique autrement, sans passer par les formes quadratiques, mais ça fait un bon recasage dans 170.
Je n'avais pas le temps de traiter le lemme dans les 15 minutes.

Ce développement demande de pas mal le travailler, surtout si comme moi vous ne connaissiez pas du tout ce résultat avant la prépa agreg. La démonstration est dans la référence mais celle-ci passe sous silence pas mal de justifications qui me semble nécessaires et que j'ai détaillées.
Je recommande de savoir appliquer cette loi : faire quelques petits exercices de calcul de symboles de Legendre avec des grands nombres. Il existe aussi une loi similaire lorsque $p=2$ mais la démonstration est beaucoup plus difficile.

Nombres de Carmichael et théorème de Korselt

Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !

Théorème de Fejer

Je suis d'accord avec les recasages (209,246) mais je mettrais 5 étoiles aussi pour 246 : tout de même, ce théorème est le cœur de la théorie des séries de Fourier !!
Ma démonstration est un mix entre celle du El Amrani et celle de mon cours de L3/M1. La seule différence est que El Amrani voit $K_N(t)\frac{dt}{2\pi}$ comme une mesure et applique Hölder à l'intégrale contre cette mesure... Je ne fais pas vraiment comme ça mais ça revient au même bien sûr.
Le théorème qui suit ne tient pas forcément dans les 15 minutes.

Théorème de Stone-Weierstrass

Je recase ce développement dans 201, 203, 209 (c'est bon) et dans 228 (là c'est moins bon car ça dépasse le cadre réel... Il faut justifier par le fait qu'on l'utilise dans le cadre pour justifier la densité des fonctions polynômiales, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...) Il faut aussi insister sur les endroits où on utilise la continuité des fonctions.

Même si tout est fait dans le Hirsch-Lacombe, ce développement mérite d'être bien travaillé pour vérifier si on a bien compris tous les arguments. Il faut aussi savoir comment on construit la suite de polynômes qui converge uniformément vers la valeur absolue sur $[-1;1]$. On utilise pour cela un théorème de Dini qu'il faut également savoir démontrer.

Théorème de Lévy et théorème central limite

J'ai un peu moins recasé ce développement que Tintin mais je suis d'accord avec lui :

pour la 218 : démontrer d'abord la proposition de la page 3, puis le lemme (il y a une démonstration plus rapide, mais celle-ci met vraiment en évidence l'utilisation des formules de Taylor) puis le TCL
pour 250, 261, 262, 266 : démontrer Lévy et TCL

Ces démonstrations sont tirées du livre de Zuily-Queffelec (vraiment pas terrible pour l'agreg), à défaut de trouver meilleure référence. Il utilise des arguments compliqués pour Lévy, on l'a retravaillé ensemble avec Tintin et on a abouti à cette démo qui semble beaucoup plus digeste. Il faut juste savoir justifier que $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{C}^{0}_c(\mathbb{R})$ (argument de convolution qui a été coupé sur la première page, si vous ne trouvez vraiment pas, n'hésitez pas à me contacter)

Critère de Sylvester

Ce développement a le mérité de rentrer parfaitement dans la 157 pour laquelle il peut être difficile de trouver des développements...
Il faut savoir démontrer le théorème de Sylvester donnant la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle, il faut aussi savoir faire en pratique : étant donné une forme quadratique réelle, la décomposer en carrés, en déduire son rang, sa signature.

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Je recase ce développement dans 149 (Déterminant) et 161 (Distances, isométries). Je suis également d'accord avec le recasage dans 191.
Dans les références que j'ai trouvées, les choses ne sont pas faites tout à fait correctement, surtout le cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard. J'ai présenté ce développement devant un ami en justifiant simplement à l'aide de ce que j'ai souligné en noir sur la 2e page et il m'a fait remarquer que ce n'était pas trivial... On a ensuite fait le détail que j'ai recopié en dessous.

Nombre de dérangements de $\mathfrak{S}_n$

Un développement plutôt facile, mais il faut s'être bien entraîné et se dépêcher un peu pour tout faire tenir en 15 minutes. On peut éventuellement envisager un recasage dans 262, à voir...

Par cinq points passe une conique

Les recasages proposés au dessus sont bien forcés... Pour moi, 171, 181 (voir après), 191, et 162 ça irait aussi, peut-être 149 mais il faut être au point sur le lien alignement/déterminant... Le reste c'est vraiment forcé.

Ce développement est difficile à intégrer, il faut être au point avec l'équation d'une conique et surtout avec les coordonnées barycentriques (c'est pour ça qu'elle se recasait dans la 181 avant, mais depuis 2024 elle n'a plus "Barycentres" dans le nom donc... pas sûr que ce soit un bon recasage, j'ai fait l'impasse sur la 181)
Il y a un problème de vocabulaire dans ce que j'ai fait, j'avais rayé "dégénéré" pour mettre "propre" mais /!\ en fait c'est bien dégénéré !!! Attention conique dégénérée, ce n'est pas pareil que forme quadratique dégénérée !! Il faut se ramener à l'équation homogénéisée qui n'est rien d'autre que l'équation barycentrique... ça touche dangereusement à la géométrie projective...
Sinon une fois qu'on a compris, ça va, mais j'aurais peur des questions de jury dessus...
Vous trouverez un rappel sur le passage cartésien/barycentrique à la fin du dev.

Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Mes recasages sont indiqués en haut de la première page.
Ce développement est classique, efficace, recasable... Bref le rêve ! Je suis tombé dessus le jour J et tout s'est très bien passé. Ils m'ont demandé comment on construisait la sous-suite au début, comment justifier la sous-additivité de la mesure, pourquoi l'intégrale sur X est égale à l'intégrale sur A... Puis ils ont enchaîné quasi tout l'oral sur les $L^p$ donc il faut être vraiment au point là-dessus quand on propose ce développement (démonstration et utilisation de Hölder etc...)
Tout est bien fait dans le Rudin, si on trouve ce livre un peu vieux il doit y avoir d'autres références (Li Intégration sûrement ?)

ATTENTION ! On m'a signalé que j'avais mis le mauvais PDF... Je tâcherai de remettre le bon assez vite.

Illustration du théorème des résidus

Complètement d'accord avec Tintin là-dessus, l'avantage de ce développement est qu'il se met très bien dans 236, mais c'est très lourd en calcul... Personnellement, sans le lemme, je fais 12 minutes et quelques, et avec le lemme il faut que je me dépêche pour que ça rentre en 15 minutes... Je l'ai vraiment fait une bonne dizaine de fois celui-là pour l'avoir bien intégré...

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

Personnellement, je ne l'ai recasé que dans les leçons de probas car c'est celles que j'ai faites à la fin de l'année et c'était le dev qui me manquait, mais je suis parfaitement d'accord avec les autres recasages (241, 243, 245).
Il faut bien s'entraîner plusieurs fois dessus, pour être sûr qu'on a bien tous les arguments. Attention, sur la 2e page il manquait des arguments, que j'ai reportés à la fin (petite étoile noire).

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Même si on ne fait cela en développement, il me semble indispensable de connaître les démonstrations de ces théorèmes fondamentaux.
En 15 minutes, je ne parvenais pas à faire les 3 équivalences de Riesz, je ne faisais que 1) équivalent à 2) en expliquant rapidement pourquoi les fermés bornés sont compacts en dimension finie (Bolzano-Weierstrass et extractions successives)

Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

Je suis d'accord avec les recasages de Tintin, personnellement j'ai utilisé ce développement uniquement pour la leçon 153 car il m'en manquait un... Je l'ai fait un peu en catastrophe à la toute fin de l'année, mais comme il est facile ça a été.
Par sécurité, il faut savoir comment on obtient la formule de Vandermonde sur le déterminant (récurrence).

Dual de M_n(K)

J'ai rajouté ce développement à ma liste un peu en catastrophe à la fin de l'année car le 2e que j'avais pris pour la 159 me semblait impossible à maîtriser parfaitement (Krein-Millman)...
Il est très bien, très facile, efficace, et aboutit à un joli résultat. Comme le dit Tintin, il faut bien prendre son temps ou bien rajouter un autre résultat derrière.

Formule d'Euler-Maclaurin et série harmonique

Ce développement a le gros avantage de très bien se recaser dans 224 ! Et même dans 230 en prime !
Sa difficulté repose dans son caractère très calculatoire, mais une fois qu'on s'est entraîné plusieurs fois, il n'est pas difficile. Cependant, il faut bien maîtriser tout ce qui tourne autour des polynômes et nombres de Bernoulli (d'où ils viennent ? Quelles sont leurs propriétés ? Comment les démontrer ?) Tout est dans le Gourdon.
A la fin on affirme que $\gamma_r$ ne dépend pas de $r$ car on sait que : $H_n=\ln(n)+\gamma+o(1)$, mais il faut savoir démontrer ce fait (voir bas de la 2e page). Je n'avais jamais le temps de le loger dans les 15 minutes, déjà qu'il faut pas mal se dépêcher pour faire tout tenir...

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury

Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications.

Finalement, mon DEV 2 n'était pas Wedderburn mais Kronecker pour cette leçon.
Et d'ailleurs dans ce même développement, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie)

Je trouve que cette leçon n'est pas facile à faire, surtout pour ce qui est de trouver de bonnes références...
Je parle des constructions géométriques à la fin et comme j'ai fait cette leçon en tout début d'année, je n'étais pas encore renseigné sur toutes les références qui existaient donc je précise que, pour cette notion, le Gozard fait tout très bien, pas besoin d'aller chercher le Carréga ou je ne sais quoi... (sauf si vous voulez vraiment être expert et aller très loin)
De même, pour la partie "Rotations vectorielles", le Rombaldi fait très bien l'affaire. Pour les angles orientés, le livre de Michèle Audin suffit.
Bon courage pour faire cette leçon ! Elle est un peu longue à s'approprier et travailler mais je trouve que ça vaut le coup, surtout pour tout ce qui est exponentielle complexe, argument, angles orientés...

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

J'ai fait cette leçon un peu vite... J'ai oublié le 3e théorème d'isomorphisme qu'il faut mettre évidemment.
Il ne faut pas oublier de parler du sous-groupe dérivé. La théorie de Sylow n'est pas obligatoire (parce que pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
La partie géométrie est appréciée du jury
Il faut savoir donner les classes de conjugaison de S_n.

Groupes finis. Exemples et applications.

Cette leçon est très calquée sur celle d'un ami grand fan de théorie des groupes ! Comme pour beaucoup de choses sur les groupes, tout est dans le Berhuy...
Si j'étais tombé sur celle-là le jour J, j'aurais très probablement enlevé la sous-partie sur les quaternions que je ne maîtrisais pas...
Je pense qu'il faut éviter de faire des rappels trop longs de généralités, d'actions de groupes et vite focus le plan sur les groupes finis (abéliens, non abéliens...)
La théorie de Sylow est hors-programme, mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année.
Dans le DEV 1, je rajoute 2 lemmes pour que ça tienne en 15 minutes : $\mathfrak{A}_n$ est engendré par les 3-cycles et ceux-ci sont tous conjugués dans $\mathfrak{A}_n$.

Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Il faut penser à parler des classes de conjugaison, avoir une idée de la démonstration, savoir dire si deux permutations sont conjuguées.
Il faut aussi connaître la preuve de l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de cycles à supports disjoints (comme précisé dans le rapport du jury 2023) ! Et il faut aussi bien sûr savoir faire en pratique
Dans la partie Applications, j'ai choisi de parler des polynômes symétriques, ça peut être remplacé par la théorie de Sylow mais je trouve que ça se justifierait moins bien...
J'ai oublié d'encadrer le DEV 2 mais il s'agit des points 56,57,58 que vous trouverez un peu éparpillés dans le Gourdon et dans un des Francinou Oraux X-ENS...

Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Cette leçon n'est pas très facile... J'ai parlé des sous-groupes dérivés et groupes projectifs dans une petite sous-partie sur le conseil d'un prof mais je ne suis pas sûr que j'aurais laissé cette partie si j'étais tombé sur cette leçon le jour J...
C'est important de parler des générateurs, des actions (pivot de Gauss, Gauss-Jordan et éventuellement Frobenius si vous l'avez travaillé pendant l'année, Sylvester)
Je pense qu'il faut parler du groupe orthogonal mais bien rester dans l'aspect GROUPE (structure, générateurs...) et le présenter comme un sous-groupe de GL(E)

Il faut bien prendre la version du Rombaldi où se trouve le chapitre "Actions de groupes sur les espaces de matrices" !

Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Tous les groupes dont on parle dans cette leçon doivent absolument être présentés sous l'angle de leurs générateurs (groupes cycliques, groupe symétrique, groupe diédral, groupe linéaire, groupe orthogonal...)
Les groupes d'isométries du tétraèdre et du cube sont à mon sens un bon investissement à faire pendant l'année.
Comme vous pouvez le constater, j'ai fortement réduit la partie "structure des groupes abéliens (de type) fini" car je n'étais pas du tout à l'aise là-dessus.... Si on en parle, il faut dans tous les cas savoir écrire un produit cartésien de groupes cycliques sous la forme du théorème.

Anneaux Z/nZ. Applications.

Cette leçon étant assez vaste, on pourrait ajouter des choses ou remplacer les nombres de Carmichael par autre chose (par exemple classification des groupes d'ordre $p^2$ et $2p$)
On peut faire les conditions de cyclicité de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ en développement.
Dans le DEV 2, je n'ai le temps de faire que le THM 45
Il faut savoir résoudre un système de congruences, trouver l'inverse d'un élément dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et résoudre des équations du second degré dans cet anneau.

Nombres premiers. Applications.

Comme l'indique le rapport du jury 2024, cette leçon est très vaste et il faut faire des choix. C'est l'occasion de vraiment mettre des choses avec lesquelles on est à l'aise.
Il faut aussi se méfier du fait que lorsque cette leçon apparaît dans un tirage, elle est quasi systématiquement choisie par le candidat...
On n'est pas obligé de parler des nombres de Carmichael, mais le DEV se recase très bien dans 120 et 127
Les résultats sur la répartition des nombres premiers peuvent être admis sans problème (certaines des démonstrations étant vraiment atroces) par contre il faut s'attendre à des questions sur des cas particuliers du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.
La théorie de Sylow est hors programme, mais je trouve que c'est un bon investissement à faire durant l'année.

Anneaux principaux. Exemples et applications.

Cette leçon a été faite au tout début de l'année, le plan n'est peut-être pas des plus pertinents.

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV 1 par les endomorphismes semi-simples ! Mais ça peut être bien d'avoir une idée de la démo de mon ancien DEV 1 sur cette leçon (voir le Francinou exos agreg algèbre 1), ça donne un exemple d'anneau principal plus sophistiqué que les habituels anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...

/!\ J'ai aussi remplacé le DEV 2 par le théorème des deux carrés (voir ma leçon 127). On peut aussi bien sûr faire le théorème chinois + un exemple en DEV, j'ai choisi de ne pas le faire car j'avais un peu peur des calculs en DEV...

Il faut connaître les implications entre les types d'anneaux (euclidien, principal, factoriel) et des contre-exemples pour les implications réciproques.

Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

C'est la toute dernière leçon que j'ai faite.
La partie sur les nombres décimaux est assez (peut-être trop ?) longue, mais j'avais travaillé les démonstrations. Je pense que c'est ce qu'il faut faire si on choisit de s'étendre autant sur ce sujet.
Je doute un peu de la pertinence des carrés dans $\mathbb{F}_q$ dans cette leçon... C'était un sujet que je maîtrisais bien donc je le mettais partout où je pouvais le mettre :)
Les constructions géométriques à la règle et au compas me semblent être un bon investissement à faire pendant l'année (au moins pour les leçons 125,127,191)

Corps finis. Applications.

Il faut savoir démontrer l'existence et l'unicité du corps à $q=p^n$ éléments et surtout construire par exemple $\mathbb{F}_4$ ou $\mathbb{F}_9$ explicitement en utilisant un polynôme irréductible. Il faut aussi savoir multiplier deux éléments dans un corps fini, trouver les inverses etc...
Pour la cyclicité du groupe multiplicatif des inversibles, j'ai choisi de le faire par l'exposant (comme ça je pouvais le remettre dans les leçons de groupes) mais ça peut se faire par d'autres moyens.
Il faut savoir justifier pourquoi il existe des polynômes irréductibles de tout degré à coefficients dans $\mathbb{F}_q$.
Le Francinou où se trouve le DEV 2 est celui qui s'appelle "Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 1"

Extensions de corps. Exemples et applications.

Je suis passé sur cette leçon le jour J ! Voir mon témoignage plus bas.

Pour cette leçon, je déconseille de s'aventurer en théorie de Galois parce que ça demande un gros investissement juste pour cette leçon là...
Par contre, la constructibilité c'est cool, c'est joli, c'est pas très difficile... et on peut en parler dans plusieurs leçons !
Comme je le dis dans mon témoignage, je pense que le jury considère cette leçon comme difficile et donc que maîtriser la base suffit.

Le jour J, je n'ai pas fait la même partie I-1), j'ai à la place défini rapidement ce qu'était un corps et j'ai parlé de la caractéristique.
Il faut bien justifier le DEV 2 par le fait que les polynômes irréductibles servent à construire des extensions de corps finis !

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Pour cette leçon, tout est dans le Perrin et le Gozard ! Le plan a été approuvé par une excellente prof.
Il faut essayer de bien mixer les polynômes irréductibles et la théorie des corps.
C'est bien de penser à parler d'un peu d'algèbre linéaire.
Il faut savoir évidemment montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme $\mathbb{F}_4$, $\mathbb{F}_9$ avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses)

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181...
La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ...
Bref à consulter avec prudence !

Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Cette leçon est relativement difficile même si on trouve facilement plein de choses à y mettre. La difficulté réside dans les polynômes à plusieurs variables : il faut savoir exploiter les relations coefficients-racines et utiliser le théorème de structure sur les polynômes symétriques et comme c'est la seule leçon qui parle de ça (du moins parmi mes plans) cela demande du travail juste pour cette leçon là...
Dans le DEV 1, je rajoute une application pour durer 15 minutes, il s'agit du résultat suivant :

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$. L'application qui va de $G$ dans $\text{GL}_n(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$, qui à une matrice associe la même matrice dont les coefficients sont réduits modulo 3 est un morphisme de groupes injectif (voir Carnet de Voyage en Algébrie).

Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Cette leçon est un vrai plaisir car tout (ou presque) est dans le Grifone !
Elle était dans mon tirage le jour J mais je ne l'ai pas prise, préférant la 125. J'ai en effet eu peur du fait que comme c'est une leçon considérée comme "facile", le jury attende un niveau de fou dessus... Je pense qu'il faut bien connaître les démos (au moins les idées) de la base extraite, de la base incomplète, du fait que toutes les bases ont même cardinal... De même, il faut savoir justifier qu'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie (c'est facile mais avec le stress le jour J on peut oublier l'argument...)
Concernant les développements, j'ai mis le théorème des extrema liés (+ un lemme d'algèbre linéaire sur la dualité que j'ai oublié d'écrire ici) car cela utilise à de multiples reprises la dimension finie et car c'était un développement que j'avais beaucoup travaillé donc je pouvais le réinvestir le plus possible. Evidemment, on peut trouver des choses plus simples à proposer... Le DEV 2 se justifie par le fait qu'on fait une récurrence sur la dimension. C'est en effet une application très pratique de la dimension finie, on a quelques théorèmes fondamentaux qui se démontrent comme ça (le théorème spectral par exemple...)

Déterminant. Exemples et applications.

Il me semble que les gens font souvent l'impasse sur cette leçon (en tout cas c'était le cas dans ma prépa agreg) mais ça ne me paraît pas si compliqué de travailler ça. J'ai même plutôt apprécié le faire car j'ai appris plein de trucs notamment sur l'aspect géométrique avec les matrices de Gram : voir le document sur le site de Jérôme Von Buhren.
J'ai choisi de le définir à la manière de Gourdon (car c'est comme ça que j'avais appris en 1ère année) mais Grifone fait d'une autre manière... à voir selon les préférences.
Le jour J, je n'aurais certainement pas mis la PROP 34 sur le déterminant de Cauchy car la démonstration est IMMONDE.
Pour le DEV 2, attention au cas d'égalité, il faut le traiter soigneusement. Il est souvent bâclé dans les références (Gourdon et Grifone)

Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

Je suis resté sur des choses relativement basiques pour cette leçon. Dans la sous-partie "endomorphismes remarquables diagonalisables", on peut ajouter les normaux et les symétriques si on a la place, on peut aussi remplacer les orthogonaux par les symétriques...
J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Cette leçon est l'une des premières que j'ai faites (la toute première je crois) et je l'ai présentée en classe. Le développement que j'ai fait au tableau était le DEV 1 : réduction des endomorphismes normaux. On m'a ensuite demandé de prouver que si un sev est stable par un endo normal, alors son orthogonal l'est aussi : il faut bien regarder la preuve, elle n'est pas du tout évidente si on ne l'a jamais vue !
Il faut aussi savoir démontrer : Si un endo $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sev stable par $u$, $u_F$ est aussi diagonalisable.
Il faut aussi être au point sur la co-diagonalisabilité (d'autant que ça tombe souvent aux écrits !!).
On peut ajouter le critère de diagonalisabilité sur un corps fini (qu'il faut savoir démontrer).

J'ai eu tendance à prendre trop de livres pour la réduction, il vaut mieux en choisir un ou deux une bonne fois pour toutes (genre Mansuy et Grifone)
Pour le développement sur la décomposition de Dunford, attention à la version que vous choisissez ! Si c'est l'une des deux qui sont dans le Gourdon, il faut prendre la deuxième (qui est celle qui figure dans cette leçon). En effet, une prof nous avait assuré que le jury n'aimait pas la première version. On peut aussi démontrer le lemme des noyaux pour aller vers les projecteurs spectraux (et recaser ainsi mieux dans PGCD-PPCM)

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Je suis passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais fait ce plan qui a été validé. Le prof avait bien dit que c'était important de parler des endomorphismes cycliques, et qu'on pouvait aller jusqu'à Frobenius (à condition d'avoir les idées des démos et de savoir faire en pratique au moyen de l'algorithme de Smith).
J'attire l'attention sur la REM19 : il faut savoir faire en pratique avec une matrice 3x3
Concernant Dunford, le prof m'avait dit que c'était un peu superflu dans cette leçon, même si c'est pas complètement impertinent... On peut choisir d'enlever ces quelques points et d'aller un peu plus loin sur les endo cycliques. Au passage, il est utile de bosser les endomorphismes cycliques car ils tombent souvent aux écrits.
On m'avait demandé en exo la dimension du commutant d'un endomorphisme diagonalisable. Réponse : c'est la somme des carrés des multiplicités des valeurs propres.

Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

Je n'aime pas beaucoup cette leçon... Elle paraît facile mais comme il faut éviter de recopier les leçons 150 ou 152 et vraiment axer sur les éléments propres, ça en fait une leçon un peu délicate... Surtout la partie "calcul approché" avec les méthodes numériques du style méthode de la puissance que je ne maîtrisais pas bien...
Je pense que ma leçon tient la route mais évidemment on peut étoffer et ajouter plein de choses, notamment dans les méthodes approchées de calcul d'éléments propres (méthode de Givens-Householder par exemple...)

/!\ A la fin de l'année, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Burnside sur les sous-groupes finis de GL(E), il s'agit de 3 résultats : le critère de nilpotence par la trace + un autre lemme + le théorème de Burnside (voir Rombaldi)

Exemples de décompositions de matrices. Applications.

J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire...
Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques.
Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont "algorithmiques" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille.
On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.

Exponentielle de matrices. Applications.

Une de mes leçons préférées (bizarrement...) ! J'ai appris plein de trucs en la faisant notamment sur le rayon spectral sur lequel je ne savais rien, et même sur l'exponentielle matricielle en général je ne connaissais pas grand chose, ça vaut le coup de bosser les démonstrations.
Concernant le DEV 1 (surjectivité de l'exponentielle), on peut faire autrement.
Au cours de l'année, j'ai modifié mon DEV : je ne montrais plus le COR41 (je faisais autrement dans un autre DEV pour montrer ce résultat) mais à la place je démontrais le lemme selon lequel : Si $\rho(A)<1$, alors $e^{\ln(I_n+A)}=I_n+A$
Ce lemme sert pour prouver le THM40.

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

Dans cette leçon, j'ai parlé des endomorphismes cycliques parce que le rapport du jury disait que c'était possible, et parce que j'aimais bien ça, mais je pense que ce n'est pas du tout obligatoire. Par contre, ça vaut le coup de se pencher un peu sur la réduction de Jordan par les noyaux itérés car c'est un peu la "finalité" de la théorie. Les démos sont un peu compliquées donc je pense qu'avoir les idées suffit, par contre il faut savoir jordaniser une matrice en pratique.
Pardonnez mon dessin ultra moche en annexe, vous le trouverez dans le Beck.

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

Cette leçon me faisait peur au début mais finalement on trouve pas mal de choses à dire. Il faut bien faire le lien avec les formes quadratiques, présenter toutes les réductions et décompositions qui impliquent des matrices symétriques...
Je n'ai peut-être pas assez parlé des matrices hermitiennes, mais il n'y avait pas grand chose dans les références.
A ce stade de l'année, je n'avais pas encore bien bossé les formes quadratiques, c'est pourquoi la partie II-2) est un peu faible mais on peut bien sûr étoffer. D'ailleurs, le DEV 1 devrait être séparé en deux : le COR24 resterait dans cette sous-partie mais le THM25 devrait aller dans II-2) après le théorème de Sylvester.
L'application au calcul différentiel semble indispensable, mais la partie sur les vecteurs Gaussiens ne l'est pas. Personnellement, je l'ai mise parce que j'aime beaucoup les vecteurs Gaussiens, mais ne les mettez que si vous comptez les travailler.

Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

Là encore une de mes leçons préférées car il suffit de dérouler le Rombaldi ! En plus j'aimais beaucoup les espaces euclidiens.
Il faut savoir démontrer le théorème spectral, et classifier une isométrie vectorielle en dimension 2 ou 3 (matriciellement).
Les indispensables : orthogonaux, symétriques, symétriques (définis) positifs et on peut ajouter les endomorphismes normaux si on les a travaillés.

Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

J'ai eu beaucoup de mal à élaborer un plan satisfaisant pour cette leçon mais je pense que c'est à peu près bon.

/!\ PROBLEME : Le DEV 1 ne rentre pas du tout dans cette leçon. J'ai cherché désespérément un DEV pour cette leçon et à la toute fin de l'année, j'ai fini par mettre le dual de $\mathcal{M}_n(K)$... Le problème était qu'il y avait un gros écart de difficulté entre celui-là et les extrema liés... Mais il fallait bien mettre quelque chose...

La partie III-2) a changé 3 fois au cours de l'année, et finalement ça a été justement celle sur le dual de $\mathcal{M}_n(K)$.

Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

Pas facile facile cette leçon...
Beaucoup de choses se trouvent dans le livre de Ladegaillerie, mais ce dernier, bien que très riche, est assez difficile à lire surtout quand on est peu à l'aise en géométrie affine comme moi...
Pour le DEV 1, attention au cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard, qu'il faut faire soigneusement car il est souvent bâclé dans les références que j'ai trouvées.
Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe.
Il faut savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en petite dimension à partir d'une matrice (vectorielle) ou d'un système (affine)
Les tableaux en annexe sont un peu nuls, il y en a des mieux faits dans le Garnier ou le Combes que j'ai mis dans ma version de la leçon 191.

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

J'ai eu beaucoup de difficultés à trouver des références pour cette leçon, c'est pour cela que certains résultats sont marqués d'un cœur au crayon, signifiant "par cœur".
Il faut parler des formules de Cramer, du théorème de Rouché-Fontené. J'ai appris beaucoup de choses que je ne savais pas concernant le pivot de Gauss en faisant cette leçon, notamment ses nombreuses applications (qui étaient passées à la trappe en première année à cause du confinement...)

Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité. Applications.

Cette leçon m'a demandé beaucoup de travail car je connaissais très peu les formes quadratiques avant de rentrer en prépa agreg : ça vaut le coup de les travailler pour prendre du recul sur plein de choses, et surtout parce que mine de rien ce n'est pas marginal au programme de l'agreg (ça peut tomber aux écrits !)
Les résultats marqués d'un cœur sont ceux que je rajoutais "par cœur" car introuvables dans les références...
Pour Sylvester, je définis les choses dans un certain ordre qui n'est pas celui des livres mais qui est celui du cours sur lequel je me suis basé pour travailler les formes quadratiques.
Ce n'est pas du tout obligatoire de parler du groupe orthogonal pour une forme quadratique, d'ailleurs si j'étais tombé sur cette leçon le jour J et que je l'avais choisie, je n'en aurais pas parlé.
Il est indispensable de savoir mettre en œuvre la méthode de Gauss en pratique pour décomposer en carrés !

Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie.

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon... En plus c'est hors programme...)
Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois les auteurs de ce site).
Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie. Malheureusement, je n'ai pas d'analogue sur les coniques...

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Dans cette leçon, j'ai remplacé le DEV 2 par "Nombre de dérangements dans $\mathfrak{S}_n$" que je préférais aux nombres de Bell (parce que pas besoin de Fubini ou quoi...)
J'aime bien cette leçon car il y a de nombreuses possibilités de plan, de développements... Personnellement, j'ai choisi d'orienter vers la théorie des groupes et des corps parce que j'étais plutôt à l'aise, mais on peut aller vers les probas, ou d'autres choses... On peut présenter des isomorphismes exceptionnels aussi...
Par contre j'avais un peu peur des questions qui peuvent impliquer des urnes ou des machins comme ça, les exercices de dénombrement peuvent être assez difficiles ou astucieux... Il faut essayer d'en faire pendant l'année je pense.

Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

ATTENTION : J'ai fait cette leçon au mois de mai, puis je me suis rapidement rendu compte que mon plan était mal articulé, j'ai donc échangé et/ou regroupé certaines sous-parties. Il faut prendre en compte le plan général que j'ai mis en page 1 du PDF, puis pour chaque sous-partie se référer à celle qui correspond dans la leçon pour y voir le contenu.
Je suis désolé, je n'ai pas pris le temps de refaire la leçon en entier après avoir modifié le plan, mais c'est juste les mêmes choses mises dans un ordre différent !

Cette leçon est très intéressante car elle permet vraiment de choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. Elle peut effrayer mais avec un peu travail on s'en sort ! On peut piocher dans les groupes évidemment, mais aussi la géométrie affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité !
Voir aussi la leçon de Tintin qui est très bien !
Les tableaux proposant la classification des isométries vectorielles en dimension 2 et 3 en annexe sont bien mieux que ceux de ma leçon 161... Je recommande donc d'apprendre plutôt ceux-ci (ils sont dans le Garnier et le Combes il me semble)
Pour les références, voir aussi le Aebischer pour les coniques.

Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

J'ai fait l'impasse sur cette leçon, je l'ai quand même faite pour me donner bonne conscience et la satisfaction d'avoir fait les 70 leçons, mais je ne l'ai pas du tout travaillée. J'ai été très contrarié par le fait qu'ils avaient enlevé "Barycentres" de l'intitulé de leçon, je trouve franchement que ça ne laisse pas grand chose de bien intéressant à dire. Même le rapport du jury semble ne pas trop savoir quoi dire.....
Quant aux développements, par 5 points passe une conique ça passerait si y avait encore barycentres dans le nom de la leçon... Mais là je pense que ça passe pas...
Krein-Millman ça passe bien, mais je ne l'ai que peu travaillé...
Je mets quand même ma version ici car je pense que la leçon est relativement ok (même s'il faut changer le DEV 1) mais on doit pouvoir trouver beaucoup mieux...

Espaces de fonctions. Exemples et applications.

Cette leçon est l'une de mes préférées ! On peut parler de beaucoup de choses comme toutes celles suggérées dans le rapport du jury.
Il faut faire attention au fait que c'est une leçon sur les ESPACES de fonctions, pas sur les fonctions. Il faut donc éviter de mettre trop de choses en rapport avec les propriétés des fonctions, et rester sur les propriétés des espaces !
J'ai choisi de parler des polynômes orthogonaux car je le fais en DEV dans d'autres leçons. Pour ce qui est de la partie IV, ce n'est pas vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé, mais je connaissais seulement les idées des démonstrations.

Utilisation de la notion de compacité.

J'aime beaucoup la compacité, donc je me suis un peu éclaté en mettant des opérateurs compacts, le théorème de Montel et ses conséquences... On n'est évidemment pas obligé de mettre tout ça. Maintenant, comme c'est une leçon sur L'UTILISATION de la notion de compacité... Je pense qu'il faut en mettre un peu quand même !
Par exemple Ascoli me semble incontournable ! Et si on met Ascoli... On peut bien mettre un peu d'opérateurs compacts ! Sachant qu'ici je n'ai mis que les choses de base sur ces objets, je ne suis pas allé vers la théorie spectrale.
Attention avec la dimension finie à ne pas faire "le serpent qui se mord la queue"... Il faut d'abord montrer que les normes sont équivalentes en utilisant la compacité de la sphère qui se justifie par Bolzano-Weierestrass (et extraction diagonale) ! Puis on montre le théorème de Riesz...
Si cela fait longtemps qu'on n'a pas trop manipulé de compacité, il convient de refaire quelques exercices car les arguments de compacité peuvent être parfois un peu futés...
Une chose qu'il faut bien savoir justifier : Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$, la distance de tout élément de $E$ à $F$ est atteinte !

Connexité. Exemples d'applications.

Je pense que dans cette leçon, de même que dans la 203 sur la compacité, il faut rester dans le cadre préconisé par le programme, c'est-à-dire le cadre métrique ! S'aventurer dans les espaces topologiques généraux me semble dangereux car cela peut amener le jury à des questions sur le sujet... On peut le faire mais il faut être sûr de bien maitriser la topologie générale...
Personnellement, je n'ai utilisé le livre de Marco "Analyse L3" que pour cette leçon... On peut sûrement tout trouver dans les autres livres mais j'aimais bien comment il présentait la connexité.
C'est important de mettre des applications au calcul diff, aux équa diff, à l'analyse complexe...Il faut aussi connaître le fameux contre-exemple d'espace métrique connexe mais non connexe par arcs.
Pour mon DEV1, finalement je ne fais que le théorème de Runge faible en allant doucement... Il se recase aussi dans 241 et 243... Ce n'était vraiment pas mon développement préféré...

Espaces complets. Exemples et applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus le jour J ! (voir mon témoignage)
Je ne l'ai pas faite tout à fait comme ça le jour J : J'ai raccourci la partie I-2) en enlevant les espaces produits (parce que j'aimais pas trop ça...) Dans la partie II-1), j'ai rajouté des choses sur les espaces vectoriels normés de dimension finie (comme quoi ils sont tous complets parce qu'on a l'équivalence des normes...). Comme exemple d'application du théorème du point fixe, j'ai mis le théorème d'inversion locale (que je faisais en dev) plutôt que Cauchy-Lipschitz. Enfin, j'ai regroupé les parties III-1) et III-2), tout ça pour avoir un peu plus de place pour parler de la théorie de Baire que j'aime bien.
Je vous laisse aller voir mon témoignage, ils m'ont surtout interrogé sur les espaces $L^p$ parce que je suis passé sur Riesz-Fischer en dev. Je pense qu'il faut bien connaître des exemples d'espaces complets, mais aussi d'espaces non complets et savoir justifier pourquoi ils ne le sont pas. La théorie de Baire n'est pas obligatoire (mais me semble quand même être un bon investissement à faire pendant l'année), si on en parle il faut l'avoir vraiment travaillée : les démos (je faisais Banach-Steinhaus en DEV avec un exemple de fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0), mais aussi des exemples d'utilisation, faire quelques exercices sur le sujet. Personnellement, j'en ai parlé parce que j'avais vu tout ça en M1.

Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Cette leçon a été faite au début de l'année. Je n'ai pas grand chose à dire dessus si ce n'est que comme d'habitude la théorie de Baire n'est pas obligatoire mais elle me semble être un bon investissement à faire pendant l'année. Si on en parle, il faut travailler les démos et voir quelques exemples d'utilisation, faire quelques exercices...
Parler des Hilbert me semble indispensable (sinon la leçon est un peu pauvre...)
Pour les savoir-faire : savoir justifier qu'une application linéaire est continue et surtout justifier qu'elle ne l'est pas au moyen d'une suite (le plus souvent), savoir trouver des normes d'opérateurs...

Approximation d'une fonction par des fonctions régulières. Exemples d'applications.

/!\ Après coup, j'ai modifié la partie I-2) pour ne parler que de Stone-Weierstrass : voir la partie consacrée à ce sujet dans le Hirsch-Lacombe. En DEV 1, je traite donc le théorème de Stone-Weierstrass et non pas Bernstein et Weierstrass. Cela m'a permis de ne pas utiliser le Zuily-Queffelec pour cette leçon (je n'aime pas du tout ce livre).
Sinon voilà, je pense que tout y est à peu près : formules de Taylor, résultats de densité, convolution, approximation de l'unité, séries de Fourier... On peut sûrement penser à d'autres choses.
Il faut savoir motiver l'intérêt d'approcher une fonction par des fonctions régulières : en fonction de comment on fait une telle approximation, on va pouvoir prolonger des propriétés propres à des fonctions "lisses" à des fonctions plus "sauvages" comme des fonctions $L^p$ par exemple.

Espaces de Hilbert. Exemples d'applications.

J'adore cette leçon et je suis tombé dessus en oral blanc en décembre en faisant exactement ce plan là.
La partie IV n'est vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé mais si on en parle, il faut bien le travailler et je ne suis pas sûr que je l'aurais mise le jour J si j'étais tombé dessus.
Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un Hilbert en montrant que son orthogonal est nul, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, savoir calculer une distance (ou une borne inf d'une quantité en reconnaissant une distance) à l'aide du projeté...
Si on parle des polynômes orthogonaux, une question méga-classique qui est systématiquement posée, c'est d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ !
Dans le DEV1, je faisais THM15 et PROP16, si on n'a pas le temps de faire PROP16, il faut quand même savoir la démontrer.

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins "futée" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Si on peut faire l'impasse sur la 214, il faut vraiment faire l'effort de traiter cette leçon. Le calcul différentiel, c'est difficile, mais avec du travail franchement on s'en sort. Je conseillerais de faire plein d'exercices où on doit différentier des trucs. Les choses les plus classiques qui sont souvent demandées à l'oral sont la différentielle de la puissance matricielle, de l'inverse matriciel, voire de l'exponentielle matricielle...
On n'est pas obligé de parler des fonctions harmoniques, mais j'avais eu un cours dessus donc j'en ai parlé.
Comme pour la 214, je recommande vivement de faire plein d'exos d'application plus ou moins "futée" des théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.

Formules de Taylor. Exemples et applications.

Cette leçon n'est franchement pas cool... Au premier abord, je trouve qu'on a du mal à voir ce qu'on va bien pouvoir mettre dedans et puis en fouillant le Rombaldi Analyse réelle et le Gourdon, on trouve tant bien que mal des choses... N'étant pas très bon en calcul, je n'aurais pas aimé tomber dessus le jour J...
Le plus dur est de trouver des développements... La façon dont j'ai tourné la démo du TCL (et surtout les lemmes préliminaires) permet de bien justifier le DEV1 pour cette leçon, mais le DEV2 est vraiment bof... On utilise juste à 2 reprises Taylor-Lagrange à l'ordre 2...
Il faut penser à parler des développements en série entière, ça permet de remplir la leçon... Et d'amener le jury vers des questions pas trop déconcertantes je pense...

Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.

Cette leçon est plutôt cool à faire, elle permet de réviser pas mal de choses : compacité, convexité, techniques d'optimisation... J'ai oublié de mettre en application du théorème des extrema liés la différentielle du det et le théorème donnant les matrices minimisant la norme sur $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ (que je fais en DEV dans d'autres leçons). Une autre jolie application du théorème des extrema liés est la suivante :
Soit $(E,(.|.))$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme auto-adjoint de $E$. Alors, la quantité : $\lambda=\text{sup}_{\|x\|=1} (u(x)|x) $ est valeur propre de $u$.
J'ai mis la méthode de Newton car le rapport du jury en parlait, mais je ne suis pas sûr qu'il s'agissait de cette méthode de Newton là... Ceci dit, elle se justifie quand même dans cette leçon.
On peut je pense approfondir la partie sur la méthode du gradient. On trouve de jolis dessins explicatifs dans le Beck.

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Si cette leçon était tombée dans mon tirage, je ne l'aurais très certainement pas prise, je ne l'aime pas beaucoup... En même temps c'est la partie difficile des équa diff... Pour que le DEV1 fasse 15 minutes, je rajoute Cauchy-Lipschitz linéaire en corollaire. Je conseille vraiment de (re)faire des exercices d'application du théorème des bouts (sortie de tout compact, explosion en temps fini) pour justifier qu'une solution maximale n'est pas globale par exemple...
Il faut aussi travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient etc...
Je n'ai pas trouvé de livre qui fait vraiment bien le pendule et Lotka-Volterra... Et de manière générale, j'espère pour les prochains agrégatifs désireux de préparer cette leçon qu'iels auront eu un bon cours d'équa diff (ce qui a été mon cas) car les livres ne sont franchement pas dingues sur le sujet... Il y a Berthelin qui fait assez bien le taf mais il faut quand même avoir eu un bon cours sur le sujet. Bref, bonne chance pour cette leçon !!

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue !
Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter "certaines EDP linéaires".
Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1.
Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin.
Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

Cette leçon paraît facile mais en réalité elle me faisait peur... En effet, comme c'est une leçon niveau première année, le jury peut s'attendre à beaucoup de recul sur ces notions et poser des exos assez avancés... En plus, je trouve que les notions de limsup et liminf ne sont pas très faciles, il faut d'ailleurs bien travailler les démonstrations sur ce sujet.
J'ai choisi de parler de vitesse et d'accélération de convergence car je ne connaissais pas avant de faire cette leçon, ça m'a permis d'apprendre des choses. On peut aussi parler de suites équiréparties...
Mon DEV1 n'a pas de référence, mais il y a la méthode générale pour étudier une suite récurrente dans le Bernis, et il suffit de l'appliquer à Arctan.

Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

Cette leçon est l'une des plus difficiles en analyse, si ce n'est LA plus difficile. La difficulté provient vraiment du fait que la leçon s'appelle "Exemples de..." et que dans les références, on ne trouve pas 50000 exemples...
Tant bien que mal avec le Gourdon et le Rombaldi d'analyse réelle, on peut faire quelque chose de potable...
Je pense que mes développements rentrent bien dans la leçon, mais le plus effrayant ce sont les questions du jury qui peuvent être très vite calculatoires...
Il faut mettre Taylor-Young et les développements limités, la partie III-3) est indispensable, parce que les DA servent souvent à ça...
On pourrait aussi éventuellement parler de vitesse et d'accélération de convergence.
Le prof qui a encadré la leçon nous a mis en garde sur une chose importante : un équivalent n'est PAS un développement asymptotique. A la base, j'avais mis la méthode de Newton en développement, mais à cause de cette remarque je ne pouvais plus la mettre... J'ai donc mis la formule d'Euler-Maclaurin qui demande un certain travail sur les polynômes de Bernoulli (en plus c'est que du calcul...) mais ça se recase dans la 230 et c'est bien connaître les polynômes de Bernoulli

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Cette leçon a été faite au début de l'année. On peut mettre moins d'analyse numérique et mettre par exemple Cauchy-Lipschitz dont la démonstration s'appuie sur la convergence d'une suite récurrente dans l'espace de Banach.
On peut aussi mettre d'autres schémas numériques pour les EDO qu'Euler explicite, parler de leur erreur etc... Mais je ne maîtrisais pas trop ces sujets et manquais de place donc je me suis contenté de ça. Je conseille de lire le développement du Bernis sur ce sujet si on ne le fait pas, il est très éclairant sur la procédure à suivre pour étudier certaines suites récurrentes. C'est d'ailleurs cette méthode que j'utilise pour le DEV 1 (que je n'ai trouvé dans aucun livre...)

Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.

/!\ Après coup, j'ai remplacé le DEV1 par le théorème de Stone-Weierstrass ! Voir la partie du Hirsch-Lacombe qui lui est consacré. Pour le justifier dans cette leçon, il faut dire qu'on est conscient qu'on dépasse le cadre réel en se plaçant sur un espace métrique compact, mais que c'est tout de même un théorème qu'on utilise souvent dans le cadre réel et qui permet d'établir des résultats de densité intéressants : densité des polynômes, des polynômes trigonométriques, des fonctions lipschitziennes, des fonctions affines par morceaux...

Cette leçon est "facile" donc je pense qu'il faut s'attendre à des questions assez poussées du jury : étude de fonctions spéciales, et surtout exemples et contre-exemples (fonction continue nulle part dérivable, fonction discontinue partout sauf en un point, fonction dérivable de dérivée non continue...) Le Hauchecorne fait assez bien ce travail.

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Mon plan est très simple mais efficace (et facile à retenir !) La difficulté de cette leçon repose sur les démonstrations des résultats de convexité que je trouve assez difficiles contrairement à d'autres démonstrations. C'est souvent une utilisation "futée" de l'inégalité des pentes.
L'étude de la convexité se motive notamment par les inégalités qu'elle produit, et des résultats de passage du local au global.
Il faut savoir faire le lien entre ensemble convexe et fonction convexe : c'est l'épigraphe ! Il faut aussi absolument accompagner cette leçon d'une annexe avec des dessins, dans la mienne il n'y en a peut-être pas assez...
Je me dis aussi qu'au vu du titre de la leçon, il faut savoir faire un lien entre les fonctions monotones et les fonctions convexe ; je pense qu'une bonne réponse à cette question peut se trouver dans le cadre des fonctions régulières...
J'ai mis le processus de Galton-Watson car il se recase assez bien, on peut orienter ce qu'on démontre soit vers les probas soit vers la convexité (ou les deux si on va assez vite). Cependant, il me semble que le jury en a un peu marre de voir ce développement, donc si vous trouvez aussi bien ou mieux, n'hésitez pas ! Ce développement se trouve dans le Delmas, Modèle Aléatoires (je ne le trouve pas sur le site)

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

En relisant le rapport du jury, je me rends compte que ma leçon manque peut-être un peu d'exemples "non triviaux"...

/!\ Après coup, j'ai remplacé mon DEV 1 par la formule d'Euler-Maclaurin (voir mon commentaire sur la leçon 224). Je trouve que mes 2 DEV sont pas mal dans cette leçon étant donné que l'un étudie le comportement d'une somme partielle (série harmonique) et l'autre des restes (dans la démonstration, on fait une transformation d'Abel avec le reste)
On peut cependant tout à fait laisser mon ex-DEV1 dans le plan car sa démonstration implique l'utilisation des sommations de relations de comparaison.
Sinon, en révisant cette leçon, j'avais trouvé des exos sacrément tordus (mais apparemment classiques) sur les convergences de séries... Je conseille d'en faire quelques-uns car mine de rien quand on est rendu à bac+5, ces choses-là remontent à la 1ère voire 2ème année...

Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

Mon plan est très long, on peut éventuellement le raccourcir. On peut utiliser le Li Intégration au lieu du Briane-Pagès si on préfère.
J'ai beaucoup restreint la partie sur la théorie de la mesure (I-2)), on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme (et c'est tant mieux...)
Je ne pense pas qu'il faille maîtriser les démonstrations de Fatou, TCD, TCM... Qui sont difficiles...
Mais il faut bien savoir les utiliser, penser à Fatou si le TCD et le TCM ne donnent rien !!
On pourrait rajouter en application de Fubini le calcul de l'intégrale de Gauss.

Problèmes d'interversion de symboles en analyse.

J'ai voulu mettre beaucoup de choses dans cette leçon, selon les préférences on pourra retirer les probas ou la théorie de Baire mais je pense qu'il faut en mettre l'un des deux au vu du nom de la leçon qui incite à mettre d'autres choses que les théorèmes "classiques" d'interversion.
Comme j'ai dit dans d'autres commentaires, si on met la théorie de Baire, il faut l'avoir travaillée c'est-à-dire avoir une idée des démonstrations, et avoir fait quelques exercices.
Les incontournables sont la convergence uniforme et toutes les interversions qui en découlent, le TCD, le TCM, Fatou, Fubini, les théorèmes sur les intégrales à paramètres réels (qui découlent du TCD d'ailleurs), le théorème d'holomorphie sous l'intégrale (plus puissant),... Il faut bien accompagner tous ces théorèmes d'exemples d'application qui se trouvent assez bien dans les bouquins. Pensez aussi à la fonction Gamma, à la transformée de Fourier...

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.

Cette leçon n'est pas des plus faciles à travailler... Du moins selon moi car je ne suis pas très doué en calcul...
Sinon les choses se trouvent plutôt bien dans le Gourdon pour les méthodes directes, le Briane-Pagès pour les méthodes indirectes (ou le Li Intégration selon les préférences)
J'ai mis quelques exemples quand même, mais peut-être pas assez... C'est ça aussi la difficulté des leçons "illustrer par des exemples..." ou "exemples de...", c'est qu'on sait qu'on doit mettre des exemples mais pas à quel point...
Il me semble important de parler un peu de calcul approché. On peut même en parler plus que cela, mais je suis moyennement à l'aise avec l'analyse numérique donc j'ai mis le strict minimum. C'est bien de parler de Monte-Carlo je pense, même si on ne fait pas l'option A, c'est assez facile à comprendre (attention, avec Monte-Carlo, il faut penser à donner un intervalle de confiance !!!)

En DEV1, j'ai mis l'étude de la fonction Gamma, qui fonctionne, mais je pense qu'on peut mettre à la place l'injectivité de la transformée de Fourier avec le calcul de la TF d'une Gaussienne et la formule d'échange, qui rentrerait peut-être mieux... C'est peut-être ce que j'aurais fait si j'étais tombé dessus le jour J.

/!\ Après coup, j'ai légèrement modifié mon DEV2, je ne calculais pas cette intégrale mais une intégrale plus sophistiquée : $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{t^n}{1+t^{\alpha}}dt$ pour $n>\alpha+1>0$ par la même méthode (avec le théorème des résidus et un bon chemin... Il est dans le Tauvel). Il faut vraiment beaucoup s'entraîner sur un tel développement car c'est beaucoup de calcul et le jour J avec le stress et le temps limité, on peut vite s'embourber.
Même si on ne fait pas un DEV qui utilise la méthode des résidus dans cette leçon, je conseillerais de bien réviser cette méthode pour cette leçon, je pense que le jury demandera forcément de calculer une intégrale de cette manière... On peut aussi rajouter dans le plan la formule et le théorème de Cauchy que j'ai oubliés !

Finalement, je n'utilise pas le Queffelec d'analyse complexe dans cette leçon.

Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.

Leçon très fortement inspirée de celle d'un certain Tintin.... Qui l'a d'ailleurs très bien présentée en classe :)
Il faut que les théorèmes "classiques" de continuité, dérivabilité, holomorphie sous l'intégrale y soient, accompagnés d'exemples. Et après il semble pertinent de développer la convolution, les approximations de l'unité et la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$. Par contre, je ne pense pas que parler de la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$ soit obligatoire... D'autant qu'elle n'est pas définie par une intégrale, mais on peut la motiver par le fait que c'est un "prolongement" de celle sur $L^1(\mathbb{R})$.
De même, les probas font une bonne application mais on peut sûrement les remplacer si on veut éviter à tout prix d'en parler...
Le Zuily-Queffelec (livre à utiliser le moins possible de mon point de vue) ne sert que pour les probabilités, on y trouve les preuves de Lévy, du TCL... Mais qu'il faut quand même remanier car elles utilisent des outils surpuissants pour rien... Voir ma version du développement si vous voulez le faire.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

C'est la toute première leçon d'analyse que j'ai faite. Il n'y a peut-être pas assez de contre-exemples... N'hésitez pas à fouiller le Hauchecorne pour en trouver.
Dans le DEV 2, j'avais le temps de faire Abel angulaire et taubérien faible.
J'ai l'impression que c'est une leçon qui porte essentiellement sur la convergence uniforme, donc il faut bien maîtriser ce sujet. Cependant, il ne faut pas trop laisser de côté les autres modes de convergence, on aurait pu mettre la transformée de Fourier dans $L^2(\mathbb{R})$, des résultats de densité dans les $L^p$ aussi peut-être, on pouvait développer plus la fonction zeta... J'aurais aussi très bien pu mettre des probas, avec toutes les convergences de variables aléatoires... Encore une fois je l'ai faite en tout début d'année donc je n'avais pas encore le recul de l'année entière... Mais je pense que la leçon tient quand même la route.
J'ai mis que j'avais utilisé le Combes mais en fait ce n'est pas le cas.

Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

J'ai fait cette leçon en tout début d'année, juste après la 241. Je pense qu'il y a à peu près tout ce qui doit s'y trouver, on peut rajouter des choses sur l'analyticité mais il ne faut pas trop en mettre car il y a une leçon consacrée à cela : la 245.

/!\ Le DEV 2 : Nombres de Bell rentre très bien dans cette leçon, mais à la fin de l'année, je l'avais remplacé par le théorème de Runge que j'aurais mis dans II-2) par exemple.

Je suis resté sur des choses assez basiques pour cette leçon, on peut sûrement trouver des résultats plus sophistiqués si on est très à l'aise, notamment des critères pour qu'une fonction soit développable en série entière, ou sur les singularités d'une fonction holomorphe et le rayon maximal des séries entières...

Il faut bien savoir trouver le rayon de convergence d'une série entière en utilisant l'une des formules (D'Alembert, Cauchy-Hadamard...) et il faut bien savoir comment on obtient l'existence et l'unicité de ce rayon de convergence (lemme d'Abel). Il faut aussi savoir démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout compact du disque ouvert de convergence, savoir étudier ce qui se passe sur le cercle d'incertitude dans certains cas...
Il faut aussi faire attention à ne pas dire de bêtises sur les séries entières, c'est le genre de sujets où on peut en dire facilement. Je conseillerais de bien lire tout le chapitre du El Amrani là-dessus.

Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.

J'ai mis beaucoup de temps à trouver un plan logique et bien construit pour cette leçon, cela a été fait en collaboration avec Tintin, et je pense qu'il est plutôt pas mal. On peut se dire que parler des fonctions circulaires avant l'exponentielle complexe n'est pas possible, mais en fait si, c'est d'ailleurs comme ça qu'on faisait en Sup, on montrait que cos et sin étaient dérivables en utilisant uniquement le cercle trigonométrique. Ceci soulève une remarque importante : selon l'ordre avec lequel on choisit de mettre les notions, il faut bien s'assurer qu'il n'y a pas d'incohérence, pas de "serpent qui se mord la queue", et qu'on sait à peu près tout démontrer dans cet ordre-là.
C'est pas mal de bosser la fonction Gamma en profondeur, de la définition jusqu'au tracé du graphe (qu'il faut savoir faire si on traite la fonction Gamma en DEV) en passant par son lien avec la fonction Beta (le plus rapide est de passer par la convolution).
Etudier la fonction zeta est aussi possible en DEV, la majorité des résultats se trouve dans le Gourdon, mais on peut approfondir avec le Zuily-Queffelec (même si personnellement je déconseillerais d'utiliser ce livre).
On peut étudier des fonctions encore plus sophistiquées, je pense à la fonction Digamma... On peut aussi s'intéresser au prolongement méromorphe de Gamma...
N'hésitez pas à tracer des graphes en annexe, j'aurais d'ailleurs dû ajouter celui de la fonction Gamma, les dessins sont toujours appréciés du jury.

Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.

Cette leçon vient compléter la 243, on y met beaucoup plus l'accent sur l'aspect "holomorphe". Je conseillerais d'utiliser plus le Tauvel que le Queffelec-Queffelec, mais c'est selon ses sensibilités.
J'aurais sûrement dû mettre plus de choses sur le Log complexe, là encore, le Tauvel est mieux là-dessus. Il y a une multitude de versions des théorèmes de Cauchy (triangulaire, convexe, simplement connexe, homologique...) j'ai mis les versions les plus simples, qui suffisaient à établir l'équivalence holomorphe-analytique...

/!\ J'ai changé mon DEV1 après coup car il était trop court : à la place, j'ai mis le calcul de l'intégrale par la méthode des résidus (voir ma leçon 236), qui se placerait en III-2) dans leçon, et qui deviendrait donc le DEV2...
Evidemment, les résultats de mon ex-DEV1 doivent obligatoirement figurer dans la leçon, et c'est bien de connaître les déomonstrations.

La partie sur les produits infinis n'est pas obligatoire, mais je pense que c'est pas mal de mentionner le théorème de Weierstrass sur la convergence dans $\mathcal{H}(\Omega)$, et de dire à quel point il est puissant : il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout compact pour que la limite soit holomorphe et en plus, toutes les dérivées convergent uniformément sur tout compact vers les dérivées de la limite ! On pouvait aussi parler de la topologie de cet espace, avec le théorème de Montel et le fait que la topologie de la convergence uniforme sur les compacts est métrisable mais pas normable (voir mes leçons 201 et 203, c'est un résultat assez avancé).
C'est une leçon très très vaste, on pourrait mettre plein d'autres choses... Je pense que pour cette leçon, faire des exercices est indispensable car ils peuvent être vite difficiles.

Séries de Fourier. Exemples et applications.

Quel plaisir de faire cette leçon : tout est dans le El Amrani (merci beaucoup à ce monsieur et à ses livres !)
J'ai peut-être mis beaucoup de résultats considérés comme "triviaux" mais en sortant de M1, j'étais moyennement à l'aise avec l'analyse de Fourier, et faire cette leçon avec le livre de El Amrani m'a permis de bien consolider tout ça !
Il faut bien être au clair sur les modes de convergence, les éventuelles implications entre elles. Et surtout, il faut bien savoir quand est-ce qu'on peut écrire $f=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n(f)e_n$ et en quel sens est-ce que l'on peut écrire ça (convergence dans $L^2$ ? Ponctuelle ?)
Il faut savoir calculer certaines sommes grâce aux coefficients de Fourier et à la théorie $L^2$ : c'est bien de savoir quelle peut être une fonction à considérer pour calculer $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.
La formule sommatoire de Poisson n'est pas très compliquée à travailler, tout est dans le Gourdon.
Quant à l'équation de la chaleur, même si on ne la traite pas en DEV, ça me semble vraiment bien d'en parler car c'est historiquement l'une des origines de l'analyse de Fourier.

Transformation de Fourier. Applications.

J'ai abordé cette leçon sous l'angle de : "y a-t-il une symétrie ou non ?"
Le premier paragraphe traite la transformée de Fourier dans $L^1(\mathbb{R})$ donc la réponse est non, on a seulement la formule d'inversion. Dans le deuxième paragraphe, on s'intéresse à la transformée de Fourier-Plancherel et à la restriction sur la classe de Schwartz où l'opérateur Fourier réalise une bijection (et même un isomorphisme isométrique)
Les théories $L^2$ et $\mathcal{S}$ m'ont demandé pas mal de travail, étant donné qu'on les avait traitées assez succintement en M1. Je conseillerais de faire quelques exercices sur le sujet, et si on n'est pas très à l'aise avec la classe de Schwartz comme moi, ne pas aller vers la topologie d'espace de Fréchet... La bijectivité de Fourier sur cet espace est amplement suffisante, pas besoin d'aller vers la structure topologique... Sauf si on en a envie et qu'on maîtrise bien le sujet bien sûr.
J'ai voulu faire les polynômes orthogonaux en DEV2 mais le rapport du jury m'a un peu refroidi, apparemment il "saoule" le jury pour cette leçon... Lévy-TCL ça rentre bien, on utilise à un moment donné une transformée de Fourier, et la bijectivité de Fourier sur la classe de Schwartz. Pour ce dernier développement, on est un peu obligé d'utiliser le Zuily-Queffelec, mais il faut remanier un peu les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose... (voir ma version du DEV si vous voulez)

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Cette leçon est un quasi copier-coller de ma leçon 229, en remplaçant juste le I. En vrai, je pense que ça passe, il faut juste bien motiver tout ça dans les 6 minutes : comme je l'ai dit pour la 229, la convexité est utile pour établir des inégalités intéressantes et étendre des résultats locaux au global (par exemple sur l'optimisation).
La partie convexité en analyse complexe est un peu bof... On peut la virer je pense, mais ça donne au moins une application en plus...
Je suis resté très basique car je trouve la convexité difficile, mais le rapport du jury propose plein de pistes d'approfondissement.
Pour Galton-Watson, il faut bien justifier en quoi la convexité intervient dans les démonstrations. J'ai pris ce développement dans le livre de Delmas, Modèles aléatoires, que je ne trouve pas sur le site.

Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Je conseillerais de refaire des exos de calcul de lois avec une fonction $h$ mesurable positive, avec les fonctions de répartition, ou les fonctions caractéristiques.
Ne pas oublier les fonctions génératrices ! A ce propos, le DEV 1 est dans le Queffelec-Queffelec mais les amis qui m'ont refilé le DEV avaient un peu remanié la démo, voir ma version du DEV si vous voulez.
Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.

Convergences d'une suite de variables aléatoires.Théorèmes limite. Exemples et applications.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Il faut axer cette leçon sur les différents modes de convergence des variables aléatoires, et surtout les liens entre ces convergences. C'est pas mal de faire un schéma résumé en annexe.
Je conseillerais de refaire quelques exercices et de se faire une petite fiche-méthode pour montrer les différentes convergences (quels outils utiliser pour chaque mode de convergence)
Le DEV1 que je ne recase nulle part ailleurs se trouve éparpillé dans les Ouvrard, je l'avais pris sur maths-agreg et je l'avais appris par cœur Il est aussi dans le Gourdon Algèbre-probas je crois.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Ici, il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance), de formule du transfert... Savoir utiliser les différentes formules, les inégalités, ne pas oublier les fonctions génératrices.
Cette leçon me faisait très peur, car étant une leçon de probas "type Sup-Spé", le jury peut poser des exos sur des urnes et des boules et je ne sais quoi avec lesquels je ne suis pas du tout à l'aise... Heureusement que je ne l'ai pas eue dans mon tirage !
Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV avaient un peu remanié la preuve : voir ma version du DEV
Le DEV2 Galton-Watson se trouve dans le Delmas, Modèles aléatoires que je ne trouve pas sur le site.

Utilisation de la notion d'indépendance en probabilités.

Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
Ici, il faut centrer sur l'indépendance mais comme le mentionne le rapport du jury, c'est une leçon sur les APPLICATIONS de l'indépendance, il faut donc en mettre le plus possible.
Les vecteurs Gaussiens ne sont pas du tout obligatoires, mais j'aime bien cette notion donc j'en ai parlé.
Le DEV2 se trouve dans le Zuily-Queffelec mais il faut un peu remanier les preuves car elles utilisent des outils surpuissants pour pas grand chose...
Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV ont un peu remanié la preuve, voir ma version du DEV si vous voulez.