Développement : Par cinq points passe une conique

Détails/Enoncé :

Par cinq points distincts d'un plan affine passe une conique. On précise l'unicité et la dégénérescence de cette conique en fonction des positions de ces points.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Ce développement fait peur à première vue, mais les trois choses à savoir sont : les barycentres, le lien mineur/rang et les liens entre coniques et formes quadratiques.
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    Recasages: 171, 181

    Page 52

    Je recommande vivement de faire des dessins dans les différents cas d'alignement, pour montrer l'unicité ou la non unicité.

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    A chaque entrainement je dépassais largement les 15 minutes. J'ai fait le choix d'enlever la partie avec le critère "non dégénérée". Sachant que je dépassais toujours les 15 minutes malgré cette censure, peut-être peut-on admettre le cas 1 qui prend quelques minutes et n'est pas l'intérêt du développement. De plus cela peut-être une question du jury "maitrisée". A vous de voir selon votre rapidité et votre aisance.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

    Attention pour la réf a bien avoir la 2ème édition, la 1ère n'étant pas autorisée.
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    Les recasages proposés au dessus sont bien forcés... Pour moi, 171, 181 (voir après), 191, et 162 ça irait aussi, peut-être 149 mais il faut être au point sur le lien alignement/déterminant... Le reste c'est vraiment forcé.

    Ce développement est difficile à intégrer, il faut être au point avec l'équation d'une conique et surtout avec les coordonnées barycentriques (c'est pour ça qu'elle se recasait dans la 181 avant, mais depuis 2024 elle n'a plus "Barycentres" dans le nom donc... pas sûr que ce soit un bon recasage, j'ai fait l'impasse sur la 181)
    Il y a un problème de vocabulaire dans ce que j'ai fait, j'avais rayé "dégénéré" pour mettre "propre" mais /!\ en fait c'est bien dégénéré !!! Attention conique dégénérée, ce n'est pas pareil que forme quadratique dégénérée !! Il faut se ramener à l'équation homogénéisée qui n'est rien d'autre que l'équation barycentrique... ça touche dangereusement à la géométrie projective...
    Sinon une fois qu'on a compris, ça va, mais j'aurais peur des questions de jury dessus...
    Vous trouverez un rappel sur le passage cartésien/barycentrique à la fin du dev.
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    Attention aux éventuelles coquilles.

    Je suis pas fan de ce développement. Mais si ca peut aider...
    Attention aux définitions, pour Eiden non dégénéré = conique homogénéisé non dégénéré, dans d'autres livres parfois on dit que non dégénéré= partie quadratique non dégénéré. J'ai préféré alors utilisé le terme "non propre" pour le non dégénéré de Eiden. Pour la fin de ce développement il faut absolument une classification des coniques et savoir dire lesquels sont propres et pas propres (je crois que dans Aebischer c'est fait en grosse partie). En tout cas il faut être clair sur tout ca.

    J'ai noté en recasage 149 (c'est bof mais il y'a l'histoire des déterminants), 162 (il y'a un système un résoudre etc, ca fait une appli), 170 (abusé), 171, 181(c'est mon impasse mais j'aurais mis dedans sinon). Ca peut également aller dans 191.
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    Développement qui paraît assez aride à première vue, mais une fois qu'on s'y plonge dedans, les choses deviennent assez fluides. Il a l'avantage de se recaser dans les deux leçons de géométrie, et d'alimenter la partie "côniques" de la leçon sur les formes quadratiques. Il y a quand même des choses à savoir, et certaines ne sont pas spécialement triviales. Notamment, la forme générale d'une conique en coordonnées barycentriques: le Eiden le fait très bien, mais il faut s'y pencher dessus, c'est pas le jour J qu'il faut se renseigner sur ce point. Côté recasage à mon avis:

    Convexité dans R^n
    Formes quadratiques réelles, Côniques
    Exemple d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Géométrie analytique classique , Eiden (utilisée dans 17 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 145 versions au total)