Développement : Théorème de Kronecker

Détails/Enoncé :

Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P(0) \not=0$. Si toutes les racines de $P$ sont de module inférieur à $1$, alors ce sont des racines de l'unité.

Recasages pour l'année 2025 :

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    J'ai rajouté une méthode qui n'utilise pas de résultat sur les polynômes symétriques élémentaires.
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    Bien se préparer aux questions sur les polynômes symétriques avant de choisir ce développement :-)

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas...
    Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références.
    Cela peut être pas mal de savoir "étendre" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ?
    Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker).
    Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...
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    Un de mes développements préférés ! Il est très bien en terme de longueur, en tout cas pour ceux qui aiment expliquer les choses un peu correctement. Pas d'un niveau vertigineux, mais très agréable. Pour l'étape 2, il y a plein de manières de faire, celle que j'ai présentée ici est la plus 'simple' dans le sens où elle ne demande pas de théorèmes difficiles ; mention spéciale à la preuve utilisant les polynômes symétriques élémentaires : elle permet je pense un recasage honnête dans la leçon sur les groupes symétriques, mais la preuve du théorème central sur les polynômes symétriques est imbuvable. Pourtant, utiliser un théorème dont on ne maîtrise pas la preuve le jour de l'oral me semble être un pari fort risqué... C'est ce qui a fait que je suis parti sur la preuve avec les polynômes caractéristiques. Côté recasage:

    Racines de l'unité
    Racines d'un polynôme
    Groupe symétrique (dans la version adaptée, pas présentée ici)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 149 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 339 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 610 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 116 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 159 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 526 versions au total)