Approximations intégrales

Exercice 2.2 page 86. ATTENTION SEULEMENT DANS LA DEUXIEME EDITION

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Différentielle du flot d'une équation différentielle autonome

Un développement assez difficile, qui use et abuse de calcul différentiel en dimension infinie, avec pour contre-partie un bon recasage, notamment dans les deux leçons d'équa diff, sans donner un ressenti trop "équa diff" (pas de lemme de Gronwall et autres joyeusetés). Ça justifie également de faire la leçon sur les donctions différentiables dans le cadre des espaces de Banach plutôt que dans R^n, si vous êtes emballé.e par ça !
Comme le calcul diff, surtout en dimension infinie où on ne peut pas se reposer sur le calcul des dérivées partielles, peut-être un peu rebutant, j'ai fait mon possible pour détailler le plus possible, en faisant attention à mettre bien en valeur la nature des différents objets manipulés. En conséquence, le document est très long, mais à mon avis, tout ne peut pas être fait avec autant de détails en 15 minutes.
J'ai ajouté une annexe à la fin où j'ai mis et démontré les propriétés utiles de la résolvante, qui peuvent servir selon le chemin de preuve choisi.

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Si cette leçon était tombée dans mon tirage, je ne l'aurais très certainement pas prise, je ne l'aime pas beaucoup... En même temps c'est la partie difficile des équa diff... Pour que le DEV1 fasse 15 minutes, je rajoute Cauchy-Lipschitz linéaire en corollaire. Je conseille vraiment de (re)faire des exercices d'application du théorème des bouts (sortie de tout compact, explosion en temps fini) pour justifier qu'une solution maximale n'est pas globale par exemple...
Il faut aussi travailler les portraits de phase pour comprendre comment on les obtient etc...
Je n'ai pas trouvé de livre qui fait vraiment bien le pendule et Lotka-Volterra... Et de manière générale, j'espère pour les prochains agrégatifs désireux de préparer cette leçon qu'iels auront eu un bon cours d'équa diff (ce qui a été mon cas) car les livres ne sont franchement pas dingues sur le sujet... Il y a Berthelin qui fait assez bien le taf mais il faut quand même avoir eu un bon cours sur le sujet. Bref, bonne chance pour cette leçon !!