Développement : Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

Détails/Enoncé :

Pour E un espace préhilbertien, V un s-ev muni d'une base $\{ e_1,...,e_n\}$, et $x \in E$, on a :
$dist(x,V)^2 = \frac{G(e_1,...,e_n,x)}{G(e_1,..,e_n)}$
où $G(f_1,...,f_m) := det( (\langle f_i,f_j \rangle)_{i,j} )$ est le déterminant de la matrice de Gram associée à $\{f_1,..,f_m\}$.

Ref : Gourdon X., Algèbre, p.259

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

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  • Remarque :
    Je recase ce développement dans 149 (Déterminant) et 161 (Distances, isométries). Je suis également d'accord avec le recasage dans 191.
    Dans les références que j'ai trouvées, les choses ne sont pas faites tout à fait correctement, surtout le cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard. J'ai présenté ce développement devant un ami en justifiant simplement à l'aide de ce que j'ai souligné en noir sur la 2e page et il m'a fait remarquer que ce n'était pas trivial... On a ensuite fait le détail que j'ai recopié en dessous.
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Attention aux éventuelles coquilles.

    Pas de ref pour les inégalités de Hadamard (à connaître), il y'en a une l'énoncé est dans le Gourdon algèbre. Si on demande une application on peut citer qu'il y'a une démonstration de théorème de Müntz-Szasz qui utilise ces résultats.

    Je recase dans 149, 157, 161.
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  • Remarque :
    Pour être tout à fait honnête, je n’avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l’ai choisi assez tardivement. Mais je pense que c’est un choix de développement raisonnable.
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  • Remarque :
    Un développement classique qui se recase à la fois en analyse et en algèbre, donc on dit oui !

    Attention, la preuve de la première application n'a pas de référence mais c'est une récurrence qui ne pose pas vraiment de difficulté à mes yeux.

    Attention aux coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 374 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 142 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 155 versions au total)