Développement : Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$

Détails/Enoncé :

Soit $q=p^n$ avec $p$ premier, $n \in \mathbb{N}^*$. Il s'agit de montrer que le nombre de matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ est $q^{d(d-1)}$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Ce développement n'est pas des plus faciles, il mérite d'être bien travaillé.
    Personnellement, je n'avais pas le temps de démontrer le "lemme de Fitting" avant, mais il faut tout de même bien connaître sa démonstration ne serait-ce que pour avoir compris ce qu'est une décomposition de Fitting et LA décomposition de Fitting d'un endomorphisme. Cela sert dès le début de la démonstration du théorème.
    A la fin, il y a pas mal de calcul qu'on a le temps ou non de faire, l'important c'est le cheminement.
    Il faut savoir justifier le cardinal de $\text{GL}_d(\mathbb{F}_q)$ (ça peut tomber aux écrits !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)